Exercices sur les Théorèmes de Thalès et Pythagore

1. Parallélisme :
Par hypothèse, le triangle MNP est rectangle en N, donc $\text{(NP)} \perp \text{(MN)}$.
La droite (IJ) est la perpendiculaire à [MN] passant par I, donc $\text{(IJ)} \perp \text{(MN)}$.
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc les droites (IJ) et (NP) sont parallèles.

2. Calcul de MJ :
Dans le triangle MNP :

• Les points M, I, N sont alignés.
• Les points M, J, P sont alignés.
• Les droites (IJ) et (NP) sont parallèles (d'après Q1).

D'après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{MI}{MN} = \dfrac{MJ}{MP} = \dfrac{IJ}{NP}$
On connaît $MI = 8$, $MP = 25$.
On calcule $MN = MI + IN = 8 + 7 = 15$.
On utilise l'égalité : $\dfrac{MI}{MN} = \dfrac{MJ}{MP}$
$\dfrac{8}{15} = \dfrac{MJ}{25}$
$MJ = \dfrac{8 \times 25}{15} = \dfrac{8 \times 5 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{40}{3}$
$MJ = \dfrac{40}{3}$ cm (soit environ 13,3 cm).

1. Figure :

2. Nature de ABCP :
Par construction, la droite (AB) est parallèle à la droite (PN). Comme C est sur (NP), on a $\text{(AB)} \parallel \text{(PC)}$.
Par construction, la droite (BC) est parallèle à la droite (MP). Comme A est sur (MP), on a $\text{(BC)} \parallel \text{(AP)}$.
Le quadrilatère ABCP a ses côtés opposés parallèles deux à deux. ABCP est donc un parallélogramme.

3. Calcul de AB :
Dans le triangle MNP :

• Les points M, B, N sont alignés.
• Les points M, A, P sont alignés.
• Les droites (AB) et (PN) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{MA}{MP} = \dfrac{MB}{MN} = \dfrac{AB}{PN}$
On a $MP = 8$ et $PA = 4,8$. Donc $MA = MP - PA = 8 - 4,8 = 3,2$ cm.
On a $PN = 12$ cm.
$\dfrac{3,2}{8} = \dfrac{AB}{12}$
$AB = \dfrac{3,2 \times 12}{8} = \dfrac{3,2}{8} \times 12 = 0,4 \times 12 = 4,8$ cm.
$AB = 4,8$ cm.

4. Nature précise de ABCP :
On sait que ABCP est un parallélogramme.
De plus, on a $PA = 4,8$ cm (donnée de l'énoncé) et on vient de calculer $AB = 4,8$ cm.
Le parallélogramme ABCP a deux côtés consécutifs de même longueur.
ABCP est donc un losange.

1. Calcul de BC :

Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$BC = \sqrt{100} = 10$ cm. $BC = 10$ cm.

2. Calcul de MN :

Dans le triangle ABC : M est sur [AB], N est sur [BC], et $\text{(MN)} \parallel \text{(AC)}$. D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{MN}{AC}$
On a $AB = 8$ et $AM = 2$, donc $BM = AB - AM = 8 - 2 = 6$ cm. On a $AC = 6$ cm. $\dfrac{6}{8} = \dfrac{MN}{6}$
$MN = \dfrac{6 \times 6}{8} = \dfrac{36}{8} = 4,5$ cm. $MN = 4,5$ cm.

3. Parallélisme de (PN) et (AB) :

On sait que $\text{(PN)} \perp \text{(AC)}$ (énoncé).
On sait que $\text{(AB)} \perp \text{(AC)}$ (car ABC est rectangle en A).
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.
Donc (PN) est parallèle à (AB).

4. Nature de MNPA :
On a $\text{(MN)} \parallel \text{(AC)}$ (énoncé Q2), donc $\text{(MN)} \parallel \text{(AP)}$.
On a $\text{(PN)} \parallel \text{(AB)}$ (démontré Q3), donc $\text{(PN)} \parallel \text{(AM)}$.
Le quadrilatère MNPA a ses côtés opposés parallèles, c'est un parallélogramme.
De plus, $\widehat{PAC} = 90^\circ$ (car ABC rectangle en A).
Un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.
MNPA est un rectangle.

5. Aire de CPN :
Pour calculer l'aire de CPN, rectangle en P, il nous faut CP et PN. Puisque MNPA est un rectangle, $PN = AM = 2$ cm.
Pour trouver CP, on utilise Thalès dans ABC avec $\text{(PN)} \parallel \text{(AB)}$ : $\dfrac{CN}{CB} = \dfrac{CP}{CA} = \dfrac{PN}{AB}$
$\dfrac{CP}{6} = \dfrac{2}{8}$
$CP = \dfrac{2 \times 6}{8} = \dfrac{12}{8} = 1,5$ cm.
Aire(CPN) = $\dfrac{CP \times PN}{2} = \dfrac{1,5 \times 2}{2} = 1,5$ cm².
L'aire de CPN est 1,5 cm².

6. Cercle circonscrit :

Propriété : Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
Le triangle ABC est rectangle en A (énoncé). Son hypoténuse est [BC].
I est le milieu de [BC] (énoncé). I est donc le centre du cercle circonscrit à ABC.
Le rayon de ce cercle est la distance du centre à un sommet, par exemple $IA = IB = IC = \dfrac{BC}{2}$.
On a calculé $BC = 10$ cm (Q1). Le rayon est donc $\dfrac{10}{2} = 5$ cm.
Le cercle de centre I et de rayon 5 cm est bien le cercle circonscrit au triangle ABC.

1. Calcul de BC :
Le triangle EBC est rectangle en B ($\widehat{EBC} = 90^\circ$). D'après le théorème de Pythagore : $EC^2 = EB^2 + BC^2$
$7^2 = 6^2 + BC^2$
$49 = 36 + BC^2$
$BC^2 = 49 - 36 = 13$
$BC = \sqrt{13}$ cm (valeur exacte). $BC \approx 3,6$ cm (arrondi à 0,1).

2. Calcul de EF :
Les droites (CF) et (BG) sont sécantes en E. Les droites (BC) et (AF) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès (configuration papillon) : $\dfrac{EB}{EG} = \dfrac{EC}{EF} = \dfrac{BC}{GF}$
On utilise $\dfrac{EB}{EG} = \dfrac{EC}{EF}$ :
$\dfrac{6}{8} = \dfrac{7}{EF}$
$6 \times EF = 8 \times 7 = 56$
$EF = \dfrac{56}{6} = \dfrac{28}{3}$ cm.
$EF = \dfrac{28}{3}$ cm (valeur exacte). $EF \approx 9,3$ cm (arrondi à 0,1).

3. et 4. Calcul de AG et AB :
Les droites (BC) et (AF) sont parallèles, et la droite (BG) est sécante. Les angles alternes-internes $\widehat{CBE}$ et $\widehat{AGE}$ sont donc égaux.
Comme $\widehat{EBC} = 90^\circ$, on a $\widehat{AGE} = 90^\circ$. Le triangle ABG est donc rectangle en G.
On connaît $BG = BE + EG = 6 + 8 = 14$ cm.
On connaît $\widehat{ABG} = 20^\circ$.
Calcul de AG (Q4) : Dans le triangle ABG rectangle en G : $\tan(\widehat{ABG}) = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \dfrac{AG}{BG}$
$\tan(20^\circ) = \dfrac{AG}{14}$
$AG = 14 \times \tan(20^\circ)$ cm.
$AG = 14 \tan(20^\circ)$ cm (valeur exacte). $AG \approx 5,1$ cm (arrondi à 0,1).
Calcul de AB (Q3) : Dans le triangle ABG rectangle en G : $\cos(\widehat{ABG}) = \dfrac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \dfrac{BG}{AB}$
$\cos(20^\circ) = \dfrac{14}{AB}$
$AB = \dfrac{14}{\cos(20^\circ)}$ cm.
$AB = \dfrac{14}{\cos(20^\circ)}$ cm (valeur exacte). $AB \approx 14,9$ cm (arrondi à 0,1).

1. Nature de ABC :
On teste la réciproque du théorème de Pythagore. Le côté le plus long est [AC], $AC^2 = 20^2 = 400$.
$AB^2 + BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
Comme $AC^2 = AB^2 + BC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

2. Aire de ABC :
ABC est rectangle en B, son aire est : Aire(ABC) = $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{AB \times BC}{2}$
Aire(ABC) = $\dfrac{12 \times 16}{2} = \dfrac{192}{2} = 96$ cm².
L'aire de ABC est 96 cm².

3. Parallélisme :
On sait que $\text{(EF)} \perp \text{(BC)}$ (énoncé).
On sait que $\text{(AB)} \perp \text{(BC)}$ (car ABC rectangle en B, Q1).
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.
Donc (EF) est parallèle à (AB).

4. Calcul de EF :
Dans le triangle ABC : E est sur [AC], F est sur [BC], et $\text{(EF)} \parallel \text{(AB)}$. D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{CE}{CA} = \dfrac{CF}{CB} = \dfrac{EF}{AB}$
On donne $CF = 4$ cm. On a $CB = 16$ cm et $AB = 12$ cm.
$\dfrac{CF}{CB} = \dfrac{EF}{AB} \implies \dfrac{4}{16} = \dfrac{EF}{12}$
$EF = \dfrac{4 \times 12}{16} = \dfrac{48}{16} = 3$ cm.
$EF = 3$ cm.

5. Aire de EBC :
Le triangle EBC a pour base le segment [BC]. La hauteur relative à cette base est la distance du point E à la droite (BC). Puisque $\text{(EF)} \perp \text{(BC)}$, cette hauteur est la longueur EF.
Aire(EBC) = $\dfrac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{2} = \dfrac{BC \times EF}{2}$
Aire(EBC) = $\dfrac{16 \times 3}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$ cm².
L'aire de EBC est 24 cm².

6. Calcul de BE :
Le triangle EBF est rectangle en F (car $\text{(EF)} \perp \text{(BC)}$). On a $EF = 3$ cm (Q4).
On calcule $BF = BC - CF = 16 - 4 = 12$ cm.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle EBF : $BE^2 = BF^2 + EF^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153$
$BE = \sqrt{153}$ cm. (On peut simplifier : $153 = 9 \times 17$, donc $BE = 3\sqrt{17}$ cm).
$BE = \sqrt{153}$ cm.