Exercices sur la Trigonométrie et Géométrie

1. Figure :

2. Calcul de AR :
Dans le triangle AIR rectangle en A :
On connaît l'angle $\widehat{AIR}$ (35°), le côté adjacent AI (6,5 cm) et on cherche le côté opposé AR.
On utilise la tangente : $\tan(\widehat{AIR}) = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \dfrac{AR}{AI}$
$\tan(35^\circ) = \dfrac{AR}{6,5}$
$AR = 6,5 \times \tan(35^\circ) \approx 4,551...$
$AR \approx 4,6$ cm.

3. Calcul de AP :
La hauteur (AP) est perpendiculaire à l'hypoténuse (RI). Le triangle API est donc rectangle en P.
Dans le triangle API rectangle en P :
On connaît l'hypoténuse AI (6,5 cm) et l'angle $\widehat{AIP}$ (qui est le même que $\widehat{AIR}$, 35°). On cherche le côté opposé AP.
On utilise le sinus : $\sin(\widehat{AIP}) = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \dfrac{AP}{AI}$
$\sin(35^\circ) = \dfrac{AP}{6,5}$
$AP = 6,5 \times \sin(35^\circ) \approx 3,728...$
$AP \approx 3,7$ cm.

1. Calcul de BC :
Dans le triangle COB rectangle en B :
On connaît l'angle $\widehat{COB}$ (59°) et le côté adjacent OB (85 m). On cherche le côté opposé BC.
On utilise la tangente : $\tan(\widehat{COB}) = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \dfrac{BC}{OB}$
$\tan(59^\circ) = \dfrac{BC}{85}$
$BC = 85 \times \tan(59^\circ) \approx 141,48...$
$BC \approx 141,5$ m.

2. Hauteur de la cathédrale :
La hauteur totale de la cathédrale est $AC = AB + BC$.
On sait que $AB = 1,5$ m (hauteur de l'instrument).
Hauteur = $141,5 + 1,5 = 143$ m.
La hauteur de la cathédrale est de 143 m.

1. Calcul de AB :
Le triangle ABC est rectangle en B (d'après le schéma, le mur est vertical).
On connaît l'hypoténuse AC (10,25 m) et un côté BC (2,25 m). On cherche l'autre côté AB.
On utilise le théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$
$10,25^2 = AB^2 + 2,25^2$
$105,0625 = AB^2 + 5,0625$
$AB^2 = 105,0625 - 5,0625 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$
La distance AB est de 10 m.

2. Calcul de l'angle $\widehat{BAC}$ :
Dans le triangle ABC rectangle en B :
On cherche l'angle $\widehat{BAC}$. On connaît le côté opposé BC (2,25 m) et l'hypoténuse AC (10,25 m).
On utilise le sinus : $\sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \dfrac{BC}{AC}$
$\sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{2,25}{10,25} \approx 0,2195...$
$\widehat{BAC} = \arcsin(0,2195...) \approx 12,68^\circ$
La valeur à un degré près est 13°. La valeur par excès à un degré près est $13^\circ$.

1. Nature du triangle ABC :

On teste la réciproque du théorème de Pythagore.
Le côté le plus long est [AC]. $AC^2 = 7,5^2 = 56,25$.
Somme des carrés des autres côtés : $AB^2 + BC^2 = 4,5^2 + 6^2 = 20,25 + 36 = 56,25$.
Comme $AC^2 = AB^2 + BC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

2. Calcul de $\widehat{BAC}$ :
Dans le triangle ABC rectangle en B :
On cherche $\widehat{BAC}$. On connaît le côté adjacent AB (4,5) et le côté opposé BC (6).
On utilise la tangente : $\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \dfrac{BC}{AB}$
$\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{6}{4,5} \approx 1,333...$
$\widehat{BAC} = \arctan(6/4,5) \approx 53,13^\circ$
$\widehat{BAC} \approx 53,1^\circ$.

3. Nature de ADC :

Le cercle est de centre A et passe par C. Le rayon du cercle est donc la longueur $AC = 7,5$ cm.
Le point D est sur le cercle, donc $AD$ est aussi un rayon. $AD = 7,5$ cm.
Dans le triangle ADC, on a $AC = AD = 7,5$ cm.
Un triangle qui a two côtés de même longueur est un triangle isocèle.
Le triangle ADC est isocèle en A.

1. Figure :

2. Nature de ABE :
Le triangle ABE est inscrit dans le cercle (C).
L'un de ses côtés, [AB], est un diamètre de ce cercle.
Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.
Le triangle ABE est donc rectangle en E.

3. Calcul de BE :
Dans le triangle ABE rectangle en E :
On connaît l'hypoténuse $AB = 2 \times \text{rayon} = 2 \times 4 = 8$ cm.
On connaît l'angle $\widehat{BAE} = 40^\circ$. On cherche le côté opposé BE.
On utilise le sinus : $\sin(\widehat{BAE}) = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \dfrac{BE}{AB}$
$\sin(40^\circ) = \dfrac{BE}{8}$
Valeur exacte : $BE = 8 \times \sin(40^\circ)$ cm.
Valeur arrondie : $BE \approx 5,142...$
Arrondi au mm : $BE \approx 5,1$ cm.

4. Parallélisme :
Dans le triangle ABD :
- O est le centre du cercle et [AB] est un diamètre, donc O est le milieu de [AB].
- D est le symétrique de B par rapport à E, donc E est le milieu de [BD].
Propriété (droite des milieux) : Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Ici, la droite (OE) passe par les milieux O et E des côtés [AB] et [BD].
Donc (OE) est parallèle à (AD).

5. Nature de ABD :
Dans le triangle ABE rectangle en E, la droite (AE) est perpendiculaire à la droite (BE).
Puisque E est sur le segment [BD], (AE) est aussi perpendiculaire à (BD). La droite (AE) est donc la hauteur issue de A dans le triangle ABD.
De plus, E est le milieu de [BD], donc (AE) est aussi la médiane issue de A.
Propriété : Si dans un triangle, une droite est à la fois hauteur et médiane, alors ce triangle est isocèle.
Le triangle ABD est isocèle en A. (On a $AB = AD$).