Exercices sur les Probabilités

1. C'est une expérience aléatoire car on ne peut pas prévoir le résultat (le numéro) avec certitude, même si on connaît tous les résultats possibles. Le tirage se fait "au hasard".

2. Issues : Les issues (résultats possibles) sont les numéros sur les boules : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

3. Événement A : "strictement plus petit que 5" (donc 5 n'est pas inclus).
$A = $ $\{1, 2, 3, 4\}$.

4. Événement $\bar{A}$ : C'est le contraire de A ("ne pas tirer un numéro strictement plus petit que 5", ou "tirer un numéro supérieur ou égal à 5").
$\bar{A} = $ $\{5, 6, 7, 8\}$.

5. Non. Un événement élémentaire ne contient qu'une seule issue. L'événement "Tirer 1 ou 2" ($\{1, 2\}$) contient two issues.

1. C'est une expérience aléatoire car on ne peut pas prévoir la somme avec certitude. Elle dépend du "hasard" du lancer des deux dés.

2. Issues : Les issues sont les sommes possibles. La somme minimale est $1+1=2$ et la somme maximale est $6+6=12$.
$\Omega = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.

3. Événement B : "strictement plus petite que 5" (sommes 2, 3, 4).
$B = $ $\{2, 3, 4\}$.

4. Événement $\bar{B}$ : Le contraire de B ("la somme est supérieure ou égale à 5").
$\bar{B} = $ $\{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.

L'angle total d'un cercle est $360^\circ$. La probabilité est proportionnelle à l'angle du secteur.

1. Probabilité de perdre sa mise (Gain 0x) :
Angle total pour 0x = $60^\circ + 135^\circ + 105^\circ = 300^\circ$.
$P(\text{0x}) = \dfrac{300}{360} = \dfrac{30}{36} = $ $\dfrac{5}{6}$.

2. Probabilité de gagner 3 fois sa mise (Gain 3x) :
Angle pour 3x = $7,5^\circ$.
$P(\text{3x}) = \dfrac{7,5}{360} = \dfrac{15}{720} = $ $\dfrac{1}{48}$.

3. Probabilité de gagner 2 fois sa mise (Gain 2x) :
Angle total pour 2x = $22,5^\circ + 30^\circ = 52,5^\circ$.
$P(\text{2x}) = \dfrac{52,5}{360} = \dfrac{105}{720} = \dfrac{21}{144} = $ $\dfrac{7}{48}$.
Vérification : $P(\text{0x}) + P(\text{2x}) + P(\text{3x}) = \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{48} + \dfrac{1}{48} = \dfrac{40}{48} + \dfrac{7}{48} + \dfrac{1}{48} = \dfrac{48}{48} = 1$.

L'univers a 52 issues possibles (52 cartes). $P(\text{Événement}) = \dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas total}}$.

1. Probabilité de tirer un as :
Il y a 4 As (Cœur, Carreau, Trèfle, Pique).
$P(\text{As}) = \dfrac{4}{52} = $ $\dfrac{1}{13}$.

2. Probabilité de tirer un cœur :
Il y a 13 cœurs (As, 2, 3, ..., 10, Valet, Dame, Roi).
$P(\text{Cœur}) = \dfrac{13}{52} = $ $\dfrac{1}{4}$.

3. Probabilité de tirer une figure :
Il y a 3 figures (Valet, Dame, Roi) dans chacune des 4 couleurs. Total = $3 \times 4 = 12$ figures.
$P(\text{Figure}) = \dfrac{12}{52} = $ $\dfrac{3}{13}$.

4. Probabilité de ne pas tirer une figure :
C'est l'événement contraire. $P(\text{non Figure}) = 1 - P(\text{Figure})$.
$P(\text{non Figure}) = 1 - \dfrac{12}{52} = \dfrac{52}{52} - \dfrac{12}{52} = \dfrac{40}{52} = $ $\dfrac{10}{13}$.

1. Tableau des sommes :
Il y a $6 \times 6 = 36$ issues (combinaisons) en tout.

somme	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

2. Calcul de probabilités (sur 36 issues) :

a) Probabilité d'obtenir 2 :
Il n'y a qu'une seule case "2" (1+1).
$P(2) = $ $\dfrac{1}{36}$.

b) Probabilité d'obtenir 5 :
Il y a 4 cases "5" (1+4, 2+3, 3+2, 4+1).
$P(5) = \dfrac{4}{36} = $ $\dfrac{1}{9}$.

c) Probabilité d'obtenir 9 :
Il y a 4 cases "9" (3+6, 4+5, 5+4, 6+3).
$P(9) = \dfrac{4}{36} = $ $\dfrac{1}{9}$.

d) Probabilité d'obtenir 10 :
Il y a 3 cases "10" (4+6, 5+5, 6+4).
$P(10) = \dfrac{3}{36} = $ $\dfrac{1}{12}$.