Exercices sur les Statistiques

Le nombre total d'élèves est $250$, ce qui correspond à $100\%$.

• Total Effectif : $250$
• Total Pourcentage : $100$
• Effectif 1982 ou avant : $24\%$ de $250 = 0,24 \times 250 = 60$
• Pourcentage 1983 : $(55 / 250) \times 100 = 22\%$
• Effectif 1984 : $52\%$ de $250 = 0,52 \times 250 = 130$
• Pourcentage 1985 : $(5 / 250) \times 100 = 2\%$

Vérification : $60 + 55 + 130 + 5 = 250$. Et $24 + 22 + 52 + 2 = 100$.

Tableau complété :

Année de naissance	Nés en 1982 ou avant	Nés en 1983	Nés en 1984	Nés en 1985	Total
Effectif	60	55	130	5	250
Pourcentage	24	22	52	2	100

1. Calcul de l'effectif total :
$N = 190 + 150 + 60 + 10 = 410$ élèves.

2. Calcul de l'effectif "moins de 100 €" :
Cela correspond aux classes $[0, 50[$ et $[50, 100[$.
Effectif = $190 + 150 = 340$ élèves.

3. Calcul du pourcentage :
Pourcentage = $\dfrac{\text{Effectif concerné}}{\text{Effectif total}} \times 100$
Pourcentage = $\dfrac{340}{410} \times 100 \approx 82,926... \%$

4. Arrondi à l'unité :
Le pourcentage arrondi à l'unité est $83\%$.

1. Nombre d'adhérents (Effectif total) :
On lit les effectifs sur l'histogramme :
$N = 2 \text{ (12 ans)} + 3 \text{ (13 ans)} + 7 \text{ (14 ans)} + 5 \text{ (15 ans)} + 4 \text{ (16 ans)} + 4 \text{ (17 ans)}$
$N = $ $25$ adhérents.

2. Tableau complété :
Fréquence = (Effectif / Total) * 100

âge	12	13	14	15	16	17
effectif	2	3	7	5	4	4
fréquence en %	8%	12%	28%	20%	16%	16%

(ex: $2/25 = 0,08 = 8\%$; $3/25 = 0,12 = 12\%$; etc.)

3. Âge moyen :
Moyenne = $\dfrac{(12 \times 2) + (13 \times 3) + (14 \times 7) + (15 \times 5) + (16 \times 4) + (17 \times 4)}{25}$
Moyenne = $\dfrac{24 + 39 + 98 + 75 + 64 + 68}{25} = \dfrac{368}{25} = $ $14,72$ ans.

4. Étendue :
Étendue = Âge max - Âge min = $17 - 12 = $ $5$ ans.

5. Mode :
Le mode est l'âge avec le plus grand effectif (7).
Mode = $14$ ans.

6. Diagramme en boîtes :
N = 25. Min = 12, Max = 17.
Médiane (Q2) : $(N+1)/2 = 26/2 = 13^{\text{ème}}$ valeur. L'effectif cumulé est $2+3+7=12$. La 13ème valeur est dans la catégorie 14 ans. Med = 14.
Quartile Q1 : $N/4 = 25/4 = 6,25$. On prend la $7^{\text{ème}}$ valeur. L'effectif cumulé est $2+3=5$. La 7ème valeur est dans la catégorie 14 ans. Q1 = 14.
Quartile Q3 : $3N/4 = 75/4 = 18,75$. On prend la $19^{\text{ème}}$ valeur. L'effectif cumulé est $2+3+7+5 = 17$. La 19ème valeur est dans la catégorie 16 ans. Q3 = 16.

1 - a) Moyenne de Luc (a=13) :
Moyenne = $\dfrac{12 + 5 + 18 + 11 + 19 + 13}{6} = \dfrac{78}{6} = $ $13$.

1 - b) Moyenne de 15 pour Luc ?
On pose l'équation : $\dfrac{12 + 5 + 18 + 11 + 19 + a}{6} = 15$
$\dfrac{65 + a}{6} = 15$
$65 + a = 90$
$a = 90 - 65 = 25$.
Non, ce n'est pas possible car les notes sont sur 20. Il aurait dû avoir 25/20.

2 - a) $y$ en fonction de $x$ :
$y$ est une augmentation de 25% par rapport à $x$.
$y = x + (25\% \text{ de } x) = x + 0,25x = $ $1,25x$.

2 - b) Calcul de $x$ et $y$ :
La moyenne de Julie est 12,5.
$\dfrac{20 + 15 + 4 + 9 + x + y}{6} = 12,5$
$48 + x + y = 6 \times 12,5 = 75$
$x + y = 75 - 48 = 27$.
On a un système de two équations :
1) $x + y = 27$
2) $y = 1,25x$
On remplace $y$ dans la première équation :
$x + (1,25x) = 27$
$2,25x = 27$
$x = \dfrac{27}{2,25} = $ $12$.
On calcule $y$ :
$y = 1,25 \times 12 = $ $15$.
(Vérification : $12 + 15 = 27$. C'est correct.)

1. Note moyenne :
Effectif total $N = 3 + 5 + 6 + 7 + 5 + 1 = 27$ élèves.
Moyenne = $\dfrac{(6 \times 3) + (8 \times 5) + (10 \times 6) + (13 \times 7) + (14 \times 5) + (17 \times 1)}{27}$
Moyenne = $\dfrac{18 + 40 + 60 + 91 + 70 + 17}{27} = \dfrac{296}{27} \approx 10,96...$
Moyenne arrondie à l'unité : $11$.

2. Pourcentage de notes $\ge 10$ :
Effectif concerné = $6 \text{ (note 10)} + 7 \text{ (note 13)} + 5 \text{ (note 14)} + 1 \text{ (note 17)} = 19$ élèves.
Pourcentage = $\dfrac{19}{27} \times 100 \approx 70,37...$
Pourcentage arrondi au dixième : $70,4\%$.

3. Diagramme en boîtes :
N = 27. Min = 6, Max = 17.
Médiane (Q2) : $(N+1)/2 = 28/2 = 14^{\text{ème}}$ valeur. L'effectif cumulé est $3+5=8$, $8+6=14$. La 14ème valeur est Med = 10.
Quartile Q1 : $N/4 = 27/4 = 6,75$. On prend la $7^{\text{ème}}$ valeur. L'effectif cumulé est $3+...$. La 7ème valeur est dans la catégorie 8. Q1 = 8.
Quartile Q3 : $3N/4 = 81/4 = 20,25$. On prend la $21^{\text{ème}}$ valeur. L'effectif cumulé est $3+5+6=14$, $14+7=21$. La 21ème valeur est Q3 = 13.