Exercices Maths 3e - Fonctions Affines (Graphiques, Brevet)

Exercice $1$ : Représentations Graphiques

Représenter graphiquement dans un même repère (O, I, J) les fonctions suivantes :

$f: x \mapsto x + 1$
$g: x \mapsto -2x - 1$
$h: x \mapsto \dfrac{3}{4}x + 2$

On prendra le centimètre pour unité (les constructions seront justifiées avec précision).

Exercice $2$ : Lecture Graphique

On considère le graphique ci-contre :

Donner les expressions algébriques des fonctions $f$, $g$ et $h$ associées respectivement aux droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$.
Donner pour chaque droite :
- son équation
- son coefficient directeur
- l'ordonnée à l'origine
Par lecture graphique, donner : $f(1)$, $g(-4)$ et $h(3)$.
Trouver les valeurs de $x$ telles que : $f(x) = -1$, $g(x) = -2$ et $h(x) = 6$.
Donner les coordonnées du point d'intersection des droites $d_1$ et $d_3$.
La fonction $f$ est-elle croissante ? Pourquoi ?

Corrigé de l'Exercice $2$

$1)$ Expressions algébriques ($y = ax + b$)

$d_1$ (bleue) / $f$ :
Ordonnée à l'origine $b=1$. Point $A(0, 1)$.
On lit un autre point $B(2, 2)$.
Coefficient $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{2 - 1}{2 - 0} = \dfrac{1}{2}$.
$f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1$.

$d_2$ (verte) / $g$ :
Ordonnée à l'origine $b=2$. Point $C(0, 2)$.
On lit un autre point $D(4, 0)$.
Coefficient $a = \dfrac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \dfrac{0 - 2}{4 - 0} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}$.
$g(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2$.

$d_3$ (orange) / $h$ :
Ordonnée à l'origine $b=6$. Point $E(0, 6)$.
On lit un autre point $F(2, 0)$.
Coefficient $a = \dfrac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \dfrac{0 - 6}{2 - 0} = -\dfrac{6}{2} = -3$.
$h(x) = -3x + 6$.

$2)$ Tableau récapitulatif

Droite	Équation	Coeff. directeur ($a$)	Ord. à l'origine ($b$)
$d_1$	$y = \dfrac{1}{2}x + 1$	$\dfrac{1}{2}$	$1$
$d_2$	$y = -\dfrac{1}{2}x + 2$	$-\dfrac{1}{2}$	$2$
$d_3$	$y = -3x + 6$	$-3$	$6$

$3)$ Lecture graphique (images)
- $f(1) = $ $1,5$ (image de $1$ par $f$, sur $d_1$)
- $g(-4) = $ $4$ (image de $-4$ par $g$, sur $d_2$)
- $h(3) = $ $-3$ (image de $3$ par $h$, sur $d_3$)

$4)$ Lecture graphique (antécédents)
- $f(x) = -1$ donc $x = $ $-4$ (antécédent de $-1$ par $f$, sur $d_1$)
- $g(x) = -2$ donc $x = $ $8$ (antécédent de $-2$ par $g$, sur $d_2$)
- $h(x) = 6$ donc $x = $ $0$ (antécédent de $6$ par $h$, sur $d_3$)

$5)$ Intersection $d_1$ et $d_3$
Le point d'intersection semble être $(1,4; 1,7)$. Calcul : $f(x) = h(x)$ donc $\dfrac{1}{2}x + 1 = -3x + 6$ donc $3,5x = 5$ donc $x = \dfrac{5}{3,5} = \dfrac{10}{7} \approx 1,43$.
$y = f(\dfrac{10}{7}) = \dfrac{1}{2}(\dfrac{10}{7}) + 1 = \dfrac{5}{7} + 1 = \dfrac{12}{7} \approx 1,71$.
Le point d'intersection exact est $(\dfrac{10}{7}, \dfrac{12}{7})$.

$6)$ Croissance de $f$
Oui, la fonction $f$ est croissante car son coefficient directeur $a = \dfrac{1}{2}$ est positif. On voit aussi que la droite "monte" quand on la lit de gauche à droite.

Exercice $3$ : Problème de Salaires

Trois artisans, Arthur, Bernard et Charles, fabriquent chaque mois le même nombre de jouets. Leur salaire mensuel est calculé de la façon suivante :

Arthur a un salaire fixe de $900$ €.
Bernard a un salaire de $300$ € augmenté d'une prime de $5$ € par jouet qu'il a fabriqué.
Charles a un salaire de $400$ € augmenté d'une prime de $4$ € par jouet qu'il a fabriqué.

Recopier et compléter le tableau suivant représentant le salaire de chacun lorsque ceux-ci ont fabriqué :

	Salaire d'Arthur	Salaire de Bernard	Salaire de Charles
130 jouets par mois
100 jouets par mois

Soit $x$ le nombre de jouets fabriqués pendant un mois. Exprimer en fonction de $x$ les salaires respectifs d'Arthur, Bernard et Charles. Les salaires seront notés respectivement $y_A$, $y_B$ et $y_C$.
On se place dans un repère orthogonal (origine du repère en bas et à gauche) et on prend :
- sur l'axe des abscisses, $1$ cm représente $10$ jouets,
- sur l'axe des ordonnées, $1$ cm représente $100$ euros.
Construire dans ce repère les droites : $D_1: y = 900 \quad D_2: y = 5x + 300 \quad D_3: y = 4x + 400$
À l'aide du graphique précédemment obtenu, répondre aux questions suivantes :
1. A partir de combien de jouets fabriqués en un mois peut-on dire que Bernard aura un salaire supérieur ou égal à celui de Charles ?
2. A partir de combien de jouets fabriqués en un mois peut-on dire que Bernard aura un salaire supérieur ou égal à celui de Charles et à celui d'Arthur ?
3. Les trois artisans pourront-ils toucher le même salaire mensuel ? Expliquer la réponse.

Corrigé de l'Exercice $3$

$1)$ Tableau des salaires

	Salaire d'Arthur	Salaire de Bernard	Salaire de Charles
130 jouets	$900$ €	$300 + 5 \times 130 = 950$ €	$400 + 4 \times 130 = 920$ €
100 jouets	$900$ €	$300 + 5 \times 100 = 800$ €	$400 + 4 \times 100 = 800$ €

$2)$ Expressions des salaires
$y_A = 900$ (fonction constante)
$y_B = 5x + 300$ (fonction affine)
$y_C = 4x + 400$ (fonction affine)

$3)$ Représentation graphique
$D_1$ (rouge) : Droite horizontale $y=900$.
$D_2$ (bleu) : $y=5x+300$. Passe par $(0, 300)$ et $(100, 800)$.
$D_3$ (vert) : $y=4x+400$. Passe par $(0, 400)$ et $(100, 800)$.

$4)$ Lecture graphique
a) Bernard ($D_2$) a un salaire supérieur ou égal à Charles ($D_3$) lorsque la droite bleue est au-dessus de la droite verte. Elles se croisent à $x=100$. Donc à partir de 100 jouets.
b) On cherche quand $D_2$ (Bernard) est au-dessus de $D_3$ (Charles) ET $D_1$ (Arthur). $D_2$ et $D_1$ se croisent : $5x + 300 = 900$ donc $5x = 600$ donc $x = 120$. Bernard gagne plus que Charles à partir de $x=100$. Bernard gagne plus qu'Arthur à partir de $x=120$. Pour gagner plus que les *deux*, il faut être au-delà des deux points, donc à partir de 120 jouets.
c) Non. Les trois droites ne se croisent pas en un seul et même point. Bernard et Charles ont le même salaire pour $x=100$, mais Arthur a un salaire différent ($900$€, eux ont $800$€). Bernard et Arthur ont le même salaire pour $x=120$, mais Charles a un salaire différent.

Exercice $4$ : Problème (Extrait Brevet)

Frédéric et Gilles ont acheté deux parcelles de terrain voisines, dessinées ci-contre. Sur cette figure, ABCD est un carré et CDE est un triangle rectangle. L'unité de longueur est le mètre et l'unité d'aire est le mètre carré.

Partie A

Frédéric a payé $320 000$ € la parcelle ABCD à raison de $200$ € le mètre carré.
1. Calculer l'aire de la parcelle de Frédéric.
2. En déduire la longueur du côté [AB] de son terrain.
Gilles a acheté la parcelle CDE à $250$ € le mètre carré, car cette parcelle est mieux exposée.
1. Calculer l'aire de la parcelle de Gilles, sachant que DE = $50$.
2. En déduire le prix payé par Gilles pour l'achat de son terrain.

Partie B

Gilles achète à Frédéric un morceau de terrain CDM où M est un point du segment [DA]. Pour la suite, on prend AB = $40$, DE = $50$ et on pose DM = $x$ avec $0 < x < 40$.

a) Exprimer l'aire $A_{CDM}$ du triangle CDM en fonction de $x$.
b) En déduire l'aire $F_{ABCM}$ du quadrilatère ABCM et l'aire $G_{CME}$ du triangle CME en fonction de $x$.
c) Calculer la valeur de $x$ pour laquelle les aires $F$ et $G$ sont égales.
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f:x \mapsto -20x + 1600$ et $g:x \mapsto 20x + 1000$, où $x$ est un nombre positif inférieur à $40$. Représenter graphiquement, dans un même repère orthogonal, les deux fonctions $f$ et $g$. (on prendra 1 cm pour 2 unités en abscisses et 1 cm pour 200 unités en ordonnées).
Comment peut-on retrouver le résultat de la question 1c) en utilisant les représentations graphiques de la question 2 ?
En utilisant uniquement le graphique, répondre aux questions suivantes et faire apparaître les tracés ayant permis de répondre.
1. Quelles sont les aires des terrains de Frédéric et de Gilles si le point M est le milieu du segment [DA] ?
2. Quelle est la valeur de $x$ lorsque l'aire $F_{ABCM}$ du terrain de Frédéric est $1500$ ?
3. Quelle est alors l'aire $G_{CME}$ du terrain de Gilles ?

Corrigé de l'Exercice $4$

Partie A

$1a)$ Aire ABCD = $320 000 / 200 = $ $1600$ m².
$1b)$ ABCD est un carré, donc $AB = \sqrt{1600} = $ $40$ m.

$2a)$ CDE est un triangle rectangle en D. $CD = AB = 40$ m. $DE = 50$ m.
Aire CDE = $\dfrac{CD \times DE}{2} = \dfrac{40 \times 50}{2} = $ $1000$ m².
$2b)$ Prix CDE = $1000 \times 250 = $ $250 000$ €.

Partie B

$1a)$ $A_{CDM}$ (triangle rect. en D) = $\dfrac{CD \times DM}{2} = \dfrac{40 \times x}{2} = $ $20x$.
$1b)$ $F_{ABCM}$ (Aire ABCD - Aire CDM) = $1600 - 20x$.
$G_{CME}$ (Aire CDE + Aire CDM) = $1000 + 20x$.
(On remarque que $F_{ABCM} = f(x)$ et $G_{CME} = g(x)$).
$1c)$ $F = G$ donc $1600 - 20x = 1000 + 20x$ donc $600 = 40x$ donc $x = $ $15$.

$2)$ Représentation graphique
$f(x) = -20x + 1600$ (rouge). $f(0)=1600$, $f(40)=800$.
$g(x) = 20x + 1000$ (bleu). $g(0)=1000$, $g(40)=1800$.

$3)$ Le résultat de la question 1c) est l'abscisse du point d'intersection des deux droites $f$ et $g$. On lit graphiquement $x=15$.

$4)$ Lecture graphique
a) Milieu de [DA] $\implies x = 40 / 2 = 20$. Pour $x=20$ (pointillé vert) :
$F_{ABCM} = f(20) = $ $1200$ m² (sur la droite rouge).
$G_{CME} = g(20) = $ $1400$ m² (sur la droite bleue).
b) $F_{ABCM} = 1500$ (ligne orange). On lit $x = $ $5$.
c) Pour $x=5$, on lit $G_{CME} = g(5) = $ $1100$ m² (sur la droite bleue).

Exercice $5$ : Problème de Réservoirs (Extrait Brevet)

On transfère le pétrole contenu dans un réservoir B vers un réservoir A à l'aide d'une pompe. Après démarrage de la pompe, on constate que la hauteur de pétrole dans le réservoir A augmente de $3$ cm par minute. Le réservoir A est vide au départ.

1 - Remplissage du réservoir A

Recopier et compléter le tableau suivant :

Temps (en min) 0 10 20 30 40

Hauteur A (en cm) 0 60
On appelle $x$ le temps (en minutes) et $f(x)$ la hauteur de pétrole (en cm) dans le réservoir A.
Parmi les 3 fonctions suivantes, laquelle correspond à la fonction $f$ :
$x \mapsto -2x \qquad x \mapsto 3x + 20 \qquad x \mapsto 3x$
Représenter graphiquement la fonction $f$ pour $x$ variant de 0 à 40, sur le graphique ci-dessous. Les unités sont : en abscisse $2$ cm représentent $5$ minutes, en ordonnée $1$ cm représente une hauteur de $10$ cm de pétrole.

Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour obtenir une hauteur de pétrole de $105$ cm dans le réservoir A. On fera apparaître les tracés sur le graphique.

2 - Vidage du réservoir B

Sur le graphique précédent, le segment [CD] représente la hauteur (en centimètres) de pétrole dans la cuve B en fonction du temps (en minutes). Les unités sont les mêmes que dans la première partie.

Compléter le tableau ci-dessous en utilisant le graphique précédent :

Temps (en min) 0 10 40

Hauteur B (en cm) 200 80
On appelle $x$ le temps et $g(x)$ la hauteur du pétrole dans le réservoir B.
Parmi les 3 fonctions suivantes, laquelle correspond à la fonction $g$ :
$x \mapsto -4x \qquad x \mapsto 3x + 200 \qquad x \mapsto -5x + 200$
Déterminer par le calcul le temps au bout duquel les hauteurs de pétrole dans les cuves A et B sont égales.
Expliquer comment on peut retrouver graphiquement ce dernier résultat.

Corrigé de l'Exercice $5$

1 - Remplissage du réservoir A

$1a)$ Tableau (Hauteur = $3 \times$ Temps)

Temps (en min)	0	10	20	30	40
Hauteur A (en cm)	0	30	60	90	120

$1b)$ $A$ est vide au départ ($f(0)=0$) et la hauteur augmente de $3$ cm/min (coeff. $a=3$).
La fonction est $f: x \mapsto 3x$ (fonction linéaire).

$1c)$ et $1d)$ Voir graphique ci-dessous.
La fonction $f(x)=3x$ (en bleu) passe par O(0, 0) et (40, 120).
Pour $y = 105$ cm (ligne orange), on lit graphiquement $x = 35$ min.

2 - Vidage du réservoir B

$2a)$ On lit sur la droite [CD] (en rouge) :
$x=10$ donc $y=150$.
$y=80$ donc $x=24$.
$x=40$ donc $y=0$.

Temps (en min)	0	10	24	40
Hauteur B (en cm)	200	150	80	0

$2b)$ $g(x)$ est une fonction affine. Ordonnée à l'origine $g(0) = 200$.
Point D(40, 0). Coeff. $a = \dfrac{0 - 200}{40 - 0} = -\dfrac{200}{40} = -5$.
La fonction est $g: x \mapsto -5x + 200$.

$2c)$ On cherche $x$ tel que $f(x) = g(x)$ :
$3x = -5x + 200$
$8x = 200$
$x = \dfrac{200}{8} = $ $25$ minutes.

$2d)$ Graphiquement, ce résultat correspond à l'abscisse du point d'intersection des deux droites (bleue et rouge). On lit bien $x=25$ sur le graphique.

Exercices sur les Fonctions Affines

Exercice $1$ : Représentations Graphiques

Corrigé de l'Exercice $1$

Exercice $2$ : Lecture Graphique

Corrigé de l'Exercice $2$

Exercice $3$ : Problème de Salaires

Corrigé de l'Exercice $3$

Exercice $4$ : Problème (Extrait Brevet)

Corrigé de l'Exercice $4$

Exercice $5$ : Problème de Réservoirs (Extrait Brevet)

Corrigé de l'Exercice $5$

Exercices sur les Fonctions Affines

Exercice $1$ : Représentations Graphiques

Corrigé de l'Exercice $1$

Exercice $2$ : Lecture Graphique

Corrigé de l'Exercice $2$

Exercice $3$ : Problème de Salaires

Corrigé de l'Exercice $3$

Exercice $4$ : Problème (Extrait Brevet)

Corrigé de l'Exercice $4$

Exercice $5$ : Problème de Réservoirs (Extrait Brevet)

Corrigé de l'Exercice $5$

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