Exercices sur les Fonctions (Généralités)

$1)$ Lecture des images :

On cherche les images de $x=-1$, $x=0$ et $x=0,5$.

$g(-1) = 0$ ; $g(0) = -1$ ; $g(0,5) = (0,5)^3 + 2(0,5)^2 - 1 = 0,125 + 0,5 - 1 = -0,375$.

$2)$ Lecture des antécédents :

Antécédents de $-1$ : On résout $x^3+2x^2-1 = -1$ donc $x^2(x+2)=0$. Solutions : $x=0$ et $x=-2$.
Antécédents de $0$ : On résout $x^3+2x^2-1 = 0$. Solutions (lecture graphique) : $x=-1$, $x \approx 0,7$ et $x \approx -1,7$.
Antécédents de $1$ : On résout $x^3+2x^2-1 = 1$. Solution (lecture graphique) : $x \approx 0,8$.

(Note : la lecture sur l'image originale ne montrait pas clairement l'antécédent $x=-2$ pour $y=-1$, mais notre graphique basé sur la fonction exacte le montre.)

$3)$ On teste $g(0) = -1$ :
Pour $x \mapsto 3x+2$ : $3(0)+2 = 2$ (Incorrect).
Pour $x \mapsto x^3+2x^2-1$ : $(0)^3+2(0)^2-1 = -1$ (Correct).
Pour $x \mapsto \dfrac{x+1}{3}$ : $\dfrac{0+1}{3} = \dfrac{1}{3}$ (Incorrect).
La fonction est $x \mapsto x^3+2x^2-1$.

$1)$ L'image de $0$ est $2$.

$2)$ $f(2) = $ $-2$ ; $f($$-2$$) = -1$ (ou $f(3)=-1$).
L'image de $4$ par $f$ est $0$.
Un antécédent de $3$ par $f$, s'il existe, est $-3$ (ou $1$).
Un antécédent de $5$ par $f$, s'il existe, est $-1$.
$f : -2 \mapsto $ $-1$ ; $f : $ $-3$ $ \mapsto 3$ (ou $f:1 \mapsto 3$).

$3)$ Les solutions sont $x = -2$ et $x = 3$.

$4)$ La solution est $x = -1$.

$f(-2)=-7$ ; $f(0)=-5$ ; $f(3)=-2$

$g(-2)=-10$ ; $g(0)=0$ ; $g(3)=15$

$h(-2)=-4$ ; $h(0)=2$ ; $h(3)=11$

$i(-2)=-\dfrac{1}{3}$ ; $i(0)=\dfrac{1}{3}$ ; $i(3)=\dfrac{4}{3}$

$j(-2)=11$ ; $j(0)=7$ ; $j(3)=1$

$s(-2)=4$ ; $s(0)=0$ ; $s(3)=9$

$t(-2) = 3(-8)+2(4)-1 = -24+8-1 = -17$
$t(0) = -1$
$t(3) = 3(27)+2(9)-1 = 81+18-1 = 98$

$u(-2) = \dfrac{-3}{1} = -3$ ; $u(0) = -\dfrac{1}{3}$ ; $u(3) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

$v(-2) =$ Impossible ; $v(0) = 0$ ; $v(3) = \sqrt{3}$

Pour $f(x)$ : $x-5=k$ donc $x=k+5$.
Ant. de $-2$: $x=3$. Ant. de $0$: $x=5$. Ant. de $3$: $x=8$.

Pour $g(x)$ : $5x=k$ donc $x=\dfrac{k}{5}$.
Ant. de $-2$: $x=-\dfrac{2}{5}$. Ant. de $0$: $x=0$. Ant. de $3$: $x=\dfrac{3}{5}$.

Pour $h(x)$ : $3x+2=k$ donc $3x=k-2$ donc $x=\dfrac{k-2}{3}$.
Ant. de $-2$: $x=-\dfrac{4}{3}$. Ant. de $0$: $x=-\dfrac{2}{3}$. Ant. de $3$: $x=\dfrac{1}{3}$.

Pour $i(x)$ : $\dfrac{x+1}{3}=k$ donc $x+1=3k$ donc $x=3k-1$.
Ant. de $-2$: $x=-7$. Ant. de $0$: $x=-1$. Ant. de $3$: $x=8$.

Pour $j(x)$ : $-2x+7=k$ donc $-2x=k-7$ donc $x=\dfrac{k-7}{-2}$.
Ant. de $-2$: $x=\dfrac{9}{2}$. Ant. de $0$: $x=\dfrac{7}{2}$. Ant. de $3$: $x=2$.

Pour $s(x)$ : $x^2=k$.
Ant. de $-2$: $x^2=-2$ (Impossible).
Ant. de $0$: $x^2=0$ (donc $x=0$).
Ant. de $3$: $x^2=3$ (donc $x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}$).