Exercices sur les Systèmes d'Équations

1) Résolution :
Par substitution (L2) : $y = 25 - 7x$.
On remplace dans (L1) : $20x + 30(25 - 7x) = 180$
$20x + 750 - 210x = 180$ donc $-190x = 180 - 750$
$-190x = -570$ donc $x = 3$.
On remplace x : $y = 25 - 7(3) = 25 - 21 = 4$.
La solution est $(3 ; 4)$.

2) Modélisation :
Soit $x$ le prix d'un pack de boisson gazeuse et $y$ le prix d'un pack de jus.
La facture totale traduit (L1) : $20x + 30y = 180$.
Les invendus traduisent (L2) : $7x + y = 25$.
Ce problème est modélisé par le système de la question 1.

a) D'après la résolution, $x=3$. Un pack de boisson gazeuse coûte 3 €.

b) D'après la résolution, $y=4$. Un pack de jus coûte 4 €.

Soit $r$ la longueur de "ré" et $s$ la longueur de "si".
Somme des longueurs :
$124 + r + 110 + 107 + 101 + 95 + s + 88 = 832$
$r + s + 625 = 832$ donc $r + s = 832 - 625$ donc $r + s = 207$. (L1)

Relation des longueurs :
$r = 1,3s$. (L2)

Résolution par substitution (L2 dans L1) :
$(1,3s) + s = 207$ donc $2,3s = 207$
$s = \dfrac{207}{2,3} = 90$.
On remplace s : $r = 1,3 \times 90 = 117$.
La lame "ré" mesure 117 mm et la lame "si" mesure 90 mm.

Soit $c$ le prix d'un café et $h$ le prix d'un chocolat.
Mise en système :
$ \begin{cases} 3c + 2h = 8,40 \text{ (L1)} \\ 2c + 4h = 11,20 \text{ (L2)} \end{cases} $
On peut simplifier (L2) en divisant par 2 : $c + 2h = 5,60$ (L2')

Résolution par combinaison (L1 - L2') :
$(3c - c) + (2h - 2h) = 8,40 - 5,60$
$2c = 2,80$ donc $c = 1,40$.
On remplace $c$ dans (L2') : $1,40 + 2h = 5,60$
$2h = 5,60 - 1,40$ donc $2h = 4,20$ donc $h = 2,10$.
Un café coûte 1,40 € et un chocolat coûte 2,10 €.

Soit $t$ le prix d'une cravate et $s$ le prix d'une chemise.
Mise en système :
$ \begin{cases} 4t + 3s = 108 \text{ (L1)} \\ t = \dfrac{3}{5}s \text{ (L2)} \end{cases} $

Résolution par substitution (L2 dans L1) :
$4\left(\dfrac{3}{5}s\right) + 3s = 108$ donc $\dfrac{12}{5}s + 3s = 108$
$\dfrac{12s}{5} + \dfrac{15s}{5} = 108$ donc $\dfrac{27s}{5} = 108$
$27s = 108 \times 5$ donc $27s = 540$
$s = \dfrac{540}{27} = 20$.
On remplace s : $t = \dfrac{3}{5}(20) = \dfrac{60}{5} = 12$.
Une cravate coûte 12 € et une chemise coûte 20 €.