Exercices sur les Inéquations

1) Vérification :
Pour $x=-5$ : $-5 + 5 = 0$. $4(-5 + 1) + 7 = 4(-4) + 7 = -16 + 7 = -9$. On a $0 < -9$. (Faux) donc -5 n'est pas solution.
Pour $x=-3$ : $-3 + 5 = 2$. $4(-3 + 1) + 7 = 4(-2) + 7 = -8 + 7 = -1$. On a $2 < -1$. (Faux) donc -3 n'est pas solution.
Pour $x=0$ : $0 + 5 = 5$. $4(0 + 1) + 7 = 4(1) + 7 = 4 + 7 = 11$. On a $5 < 11$. (Vrai) donc 0 est solution.
Pour $x=3$ : $3 + 5 = 8$. $4(3 + 1) + 7 = 4(4) + 7 = 16 + 7 = 23$. On a $8 < 23$. (Vrai) donc 3 est solution.

2) Résolution :
$x + 5 > 4x + 4 + 7$ donc $x + 5 > 4x + 11$
$5 - 11 > 4x - x$ donc $-6 > 3x$
$\dfrac{-6}{3} > x$ donc $-2 > x$ (ou $x < -2$)
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à -2.

1) $A = \dfrac{3(\dfrac{7}{3}) - 2}{4} = \dfrac{7 - 2}{4} = $ $\dfrac{5}{4}$.

2) On remplace $\dfrac{3x-2}{4}$ par la valeur trouvée à la question 1 (puisque $x = \dfrac{7}{3}$).
On doit vérifier si $\dfrac{5}{4} < 2$.
$\dfrac{5}{4} = 1,25$. On a $1,25 < 2$. (Vrai) donc Oui, $\dfrac{7}{3}$ est solution.

3) $\dfrac{3x - 2}{4} < 2$. On multiplie les deux côtés par 4 (positif, on ne change pas le sens) :
$3x - 2 < 8$ donc $3x < 8 + 2$ donc $3x < 10$ donc $x < \dfrac{10}{3}$.
(On vérifie : $\dfrac{7}{3} \approx 2,33$ et $\dfrac{10}{3} \approx 3,33$. On a bien $2,33 < 3,33$, ce qui est cohérent avec la Q2).

1) $5x - 4 < 9x - 7$ donc $-4 + 7 < 9x - 5x$ donc $3 < 4x$ donc $\dfrac{3}{4} < x$ (ou $x > \dfrac{3}{4}$).

2) Dénominateur commun (24) : $\dfrac{4(5x + 1)}{24} > \dfrac{3(3x - 3)}{24}$
On multiplie par 24 (positif) : $4(5x + 1) > 3(3x - 3)$
$20x + 4 > 9x - 9$ donc $20x - 9x > -9 - 4$ donc $11x > -13$ donc $x > -\dfrac{13}{11}$.

Résolution de la première inéquation (I1) :
$3x - 5 \le x + 3$ donc $3x - x \le 3 + 5$ donc $2x \le 8$ donc $x \le 4$.

Résolution de la deuxième inéquation (I2) :
$4 < 14 + 5x$ donc $4 - 14 < 5x$ donc $-10 < 5x$ donc $\dfrac{-10}{5} < x$ donc $-2 < x$.

Solutions du système :
On cherche les $x$ qui vérifient les deux conditions : $-2 < x$ ET $x \le 4$.
Les solutions sont l'intervalle $] -2 ; 4 ]$.

Entiers relatifs solutions :
On cherche les nombres entiers dans cet intervalle.
On ne prend pas -2 (strictement supérieur), on commence à -1.
On prend 4 (inférieur ou égal).
Liste des entiers : $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}$.