Exercices sur les Équations du Premier Degré

1) E est sur le segment [AB], donc $AE = AB - EB$. Comme $AB = 6$ cm (côté du carré) et $EB = x$, on a $AE = 6 - x$.
L'aire du triangle ADE (triangle rectangle en A) est $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{AD \times AE}{2}$.
Aire(ADE) = $\dfrac{6 \times (6 - x)}{2} = 3 \times (6 - x) = $ $18 - 3x$.

2) L'aire du carré ABCD est $côté^2 = 6^2 = 36$ cm².
On cherche x tel que : Aire(ABCD) = 3 $\times$ Aire(ADE)
$36 = 3 \times (18 - 3x)$
$36 = 54 - 9x$
$9x = 54 - 36$
$9x = 18$
$x = 2$. (La valeur de x est 2 cm).

a) $-3x - 2x = -3 - 5 \implies -5x = -8 \implies x = \dfrac{-8}{-5} = $ $\dfrac{8}{5}$. ( $S = \{\dfrac{8}{5}\}$ )

b) $5x - 5x = 2 + 1 \implies 0x = 3$. C'est impossible. L'équation n'a pas de solution. ( $S = \emptyset$ )

c) $4x - 10x = 1 + 5 \implies -6x = 6 \implies x = \dfrac{6}{-6} = $ $-1$. ( $S = \{-1\}$ )

a) $3x + 6 - 15 - 5x = 0 \implies -2x - 9 = 0 \implies -2x = 9 \implies x = $ $-\dfrac{9}{2}$

b) $4x - 20 = 3 - x - 1 \implies 4x - 20 = 2 - x \implies 4x + x = 2 + 20 \implies 5x = 22 \implies x = $ $\dfrac{22}{5}$

c) $-x - 1 - 2x + 18 + x + 3 = -x + 4 + 16 - x \implies -2x + 20 = -2x + 20$
$0x = 0$. C'est toujours vrai. Tous les nombres réels sont solution. ( $S = \mathbb{R}$ )

a) $\dfrac{2}{3}x - 2x = \dfrac{1}{2} \implies (\dfrac{2}{3} - \dfrac{6}{3})x = \dfrac{1}{2} \implies -\dfrac{4}{3}x = \dfrac{1}{2} \implies x = \dfrac{1}{2} \times (-\dfrac{3}{4}) = $ $-\dfrac{3}{8}$

b) On met tout au dénominateur 4 : $\dfrac{2 \times 7}{4}x + \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{4}{4}$
$14x + 3 = 3x - 4 \implies 14x - 3x = -4 - 3 \implies 11x = -7 \implies x = $ $-\dfrac{7}{11}$

c) On met tout au dénominateur 8 : $\dfrac{2(2x - 3)}{8} + \dfrac{3x - 7}{8} = \dfrac{8}{8}$
$2(2x - 3) + (3x - 7) = 8 \implies 4x - 6 + 3x - 7 = 8 \implies 7x - 13 = 8 \implies 7x = 21 \implies x = $ $3$

d) $\dfrac{x + 3}{2} - \dfrac{x - 13}{3} = x + \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{6}$. On met tout au dénominateur 6 :
$\dfrac{3(x + 3)}{6} - \dfrac{2(x - 13)}{6} = \dfrac{6x}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{6}$
$3(x + 3) - 2(x - 13) = 6x + 5 + 3$
$3x + 9 - 2x + 26 = 6x + 8$
$x + 35 = 6x + 8 \implies 35 - 8 = 6x - x \implies 27 = 5x \implies x = $ $\dfrac{27}{5}$