Exercices d'Arithmétique : PGCD et Fractions Irréductibles

1) On utilise l'algorithme d'Euclide pour $PGCD(20755, 9488)$ :
$20755 = 2 \times 9488 + 1779$
$9488 = 5 \times 1779 + 593$
$1779 = 3 \times 593 + 0$
Le PGCD est le dernier reste non nul : $D = 593$.

2) On simplifie la première fraction par le PGCD :
$\dfrac{20755 \div 593}{9488 \div 593} = \dfrac{35}{16}$.
On calcule M :
$M = \dfrac{35}{16} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{35}{16} - \dfrac{3 \times 2}{8 \times 2} = \dfrac{35 - 6}{16} = $ $\dfrac{29}{16}$.

3) - M est un nombre rationnel car il s'écrit sous la forme d'une fraction irréductible.
- M est aussi un nombre décimal. Justification : sa fraction irréductible $\dfrac{29}{16}$ a un dénominateur $16 = 2^4$. Comme la décomposition en facteurs premiers du dénominateur ne contient que des 2 (et/ou des 5), le nombre est décimal. ($29 \div 16 = 1.8125$)

1) $682$ et $496$ se terminent tous les deux par un chiffre pair ($2$ et $6$). Ils sont donc tous les deux divisibles par 2. Comme ils ont un diviseur commun autre que 1, ils ne sont pas premiers entre eux.

2) $PGCD(682, 496)$ par l'algorithme d'Euclide :
$682 = 1 \times 496 + 186$
$496 = 2 \times 186 + 124$
$186 = 1 \times 124 + 62$
$124 = 2 \times 62 + 0$
Le PGCD est $62$.

3) Pour rendre la fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (qui est 62).
$\dfrac{682 \div 62}{496 \div 62} = $ $\dfrac{11}{8}$.

1) $170$ se termine par $0$ et $578$ se termine par $8$. Les deux nombres sont pairs, donc divisibles par 2. Puisqu'ils ont un diviseur commun ($2$) autre que $1$, la fraction n'est pas irréductible.

2) $PGCD(578, 170)$ par l'algorithme d'Euclide :
$578 = 3 \times 170 + 68$
$170 = 2 \times 68 + 34$
$68 = 2 \times 34 + 0$
Le PGCD est $34$.

3) On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD ($34$).
$\dfrac{170 \div 34}{578 \div 34} = $ $\dfrac{5}{17}$.

1) $PGCD(6209, 4435)$ par l'algorithme d'Euclide :
$6209 = 1 \times 4435 + 1774$
$4435 = 2 \times 1774 + 887$
$1774 = 2 \times 887 + 0$
Le PGCD est $887$.

2) La fraction n'est pas irréductible car le PGCD du numérateur ($4435$) et du dénominateur ($6209$) n'est pas égal à 1 (il vaut $887$). Cela signifie qu'ils ont un diviseur commun autre que $1$.

3) On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD ($887$).
$\dfrac{4435 \div 887}{6209 \div 887} = $ $\dfrac{5}{7}$.