Exercices d'Arithmétique : PGCD et Fractions Irréductibles

1) On utilise l'algorithme d'Euclide pour $PGCD(20755, 9488)$ :
$20755 = 2 \times 9488 + 1779$
$9488 = 5 \times 1779 + 593$
$1779 = 3 \times 593 + 0$
Le PGCD est le dernier reste non nul : $D = 593$.

2) On simplifie la première fraction par le PGCD :
$\dfrac{20755 \div 593}{9488 \div 593} = \dfrac{35}{16}$.
On calcule M :
$M = \dfrac{35}{16} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{35}{16} - \dfrac{3 \times 2}{8 \times 2} = \dfrac{35 - 6}{16} = $ $\dfrac{29}{16}$.

3) - M est un nombre rationnel car il s'écrit sous la forme d'une fraction irréductible.
- M est aussi un nombre décimal. Justification : sa fraction irréductible $\dfrac{29}{16}$ a un dénominateur $16 = 2^4$. Comme la décomposition en facteurs premiers du dénominateur ne contient que des 2 (et/ou des 5), le nombre est décimal. ($29 \div 16 = 1.8125$)

1) 682 et 496 se terminent tous les deux par un chiffre pair (2 et 6). Ils sont donc tous les deux divisibles par 2. Comme ils ont un diviseur commun autre que 1, ils ne sont pas premiers entre eux.

2) $PGCD(682, 496)$ par l'algorithme d'Euclide :
$682 = 1 \times 496 + 186$
$496 = 2 \times 186 + 124$
$186 = 1 \times 124 + 62$
$124 = 2 \times 62 + 0$
Le PGCD est $62$.

3) Pour rendre la fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (qui est 62).
$\dfrac{682 \div 62}{496 \div 62} = $ $\dfrac{11}{8}$.

1) 170 se termine par 0 et 578 se termine par 8. Les deux nombres sont pairs, donc divisibles par 2. Puisqu'ils ont un diviseur commun (2) autre que 1, la fraction n'est pas irréductible.

2) $PGCD(578, 170)$ par l'algorithme d'Euclide :
$578 = 3 \times 170 + 68$
$170 = 2 \times 68 + 34$
$68 = 2 \times 34 + 0$
Le PGCD est $34$.

3) On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (34).
$\dfrac{170 \div 34}{578 \div 34} = $ $\dfrac{5}{17}$.

1) $PGCD(6209, 4435)$ par l'algorithme d'Euclide :
$6209 = 1 \times 4435 + 1774$
$4435 = 2 \times 1774 + 887$
$1774 = 2 \times 887 + 0$
Le PGCD est $887$.

2) La fraction n'est pas irréductible car le PGCD du numérateur (4435) et du dénominateur (6209) n'est pas égal à 1 (il vaut 887). Cela signifie qu'ils ont un diviseur commun autre que 1.

3) On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (887).
$\dfrac{4435 \div 887}{6209 \div 887} = $ $\dfrac{5}{7}$.