Exercices d'Arithmétique : Fractions, Division, PGCD

1) La division euclidienne s'écrit $a = b \times q + r$ avec $r < b$.
Ici, $a = b \times 1 + 24$, ce qui donne $a = b + 24$.
On cherche $a - b$. En réarrangeant l'équation, on trouve $a - b = $ $24$. (On doit aussi avoir $r < b$, donc $24 < b$).

2) On utilise $a = b + 24$ (question 1) et $24 < b$.
- $b$ est divisible par 6 et $20 < b < 50$. Les valeurs possibles pour $b$ sont : 24, 30, 36, 42, 48. - On doit aussi avoir $24 < b$, donc on élimine $b=24$. Il reste : 30, 36, 42, 48. - $a$ est un multiple de 5. On teste les valeurs de $b$ restantes :

• Si $b = 30$, $a = 30 + 24 = 54$ (non multiple de 5)
• Si $b = 36$, $a = 36 + 24 = 60$ (multiple de 5)
• Si $b = 42$, $a = 42 + 24 = 66$ (non multiple de 5)
• Si $b = 48$, $a = 48 + 24 = 72$ (non multiple de 5)

La seule solution est $a = 60$ et $b = 36$.

Commençons par simplifier $r$ : $r = \dfrac{40}{56} = \dfrac{8 \times 5}{8 \times 7} = \dfrac{5}{7}$.

1) On cherche $x$ tel que $\dfrac{x}{63} = \dfrac{5}{7}$.
Comme $63 = 7 \times 9$, on doit multiplier le numérateur par 9 : $x = 5 \times 9 = 45$.
La fraction est $\dfrac{45}{63}$.

2) On cherche $y$ tel que $\dfrac{65}{y} = \dfrac{5}{7}$.
Comme $65 = 5 \times 13$, on doit multiplier le dénominateur par 13 : $y = 7 \times 13 = 91$.
La fraction est $\dfrac{65}{91}$.

3) On cherche un entier $z$ tel que $\dfrac{z}{16} = \dfrac{5}{7}$.
Par produit en croix, on aurait $z \times 7 = 16 \times 5$, soit $7z = 80$.
$z = \dfrac{80}{7}$. Ce n'est pas un nombre entier.
Il est donc impossible de trouver une fraction à termes entiers avec 16 au dénominateur qui soit égale à $r$.

1) Diviseurs de 60 : $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$
Diviseurs de 72 : $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}$
Les diviseurs communs sont : $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

2) Le plus grand diviseur commun (PGCD) est 12.
$60 = $ $12 \times 5$
$72 = $ $12 \times 6$

3) $\dfrac{1}{60} - \dfrac{1}{72} = \dfrac{1}{12 \times 5} - \dfrac{1}{12 \times 6}$
On peut mettre $\dfrac{1}{12}$ en facteur :
$= \dfrac{1}{12} \times \left( \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} \right)$
$= \dfrac{1}{12} \times \left( \dfrac{6}{30} - \dfrac{5}{30} \right)$
$= \dfrac{1}{12} \times \left( \dfrac{1}{30} \right) = $ $\dfrac{1}{360}$

1) Durée totale de service : 20 h 15 - 6 h 45.
= 19 h 75 min - 6 h 45 min = 13 h 30 min.
Convertissons en minutes : $13 \times 60 + 30 = 780 + 30 = 810$ minutes.
Nombre d'intervalles de 15 min : $810 \div 15 = 54$.
Le nombre de trains est le nombre d'intervalles + 1 (pour le premier train).
Nombre de trains = $54 + 1 = $ $55$ trains.

2) Arrivée de Jean à MathVille :
8 h 45 + 34 min = 8 h 79 min = 9 h 19.
Horaires des bus : toutes les 8 min depuis 6 h 30.
Temps écoulé entre 6h30 et 9h19 : 9 h 19 - 6 h 30 = 8 h 79 min - 6 h 30 min = 2 h 49 min.
En minutes : $2 \times 60 + 49 = 169$ minutes.
On cherche le prochain multiple de 8 après 169.
$169 \div 8 \approx 21.125$.
Le bus précédent est passé à $21 \times 8 = 168$ min (soit à 9h18).
Le prochain bus passera à $22 \times 8 = 176$ min (soit à 9h26).
Jean arrive à 169 min (9h19). Il doit attendre jusqu'à 176 min (9h26).
Temps d'attente = $176 - 169 = $ $7$ minutes.