Règles de Calcul Fondamentales

I - La soustraction

Définition 1 : On appelle opposé du nombre $a$ le nombre noté $-a$ tel que : $a+(-a)=0$.

Remarque : Dans ce cas, le signe "$-$" n'est pas la marque d'un nombre négatif. En effet, d'après la définition, l'opposé du nombre $-2$ est le nombre $-(-2)$. Or, $-2+2=0$ donc on en déduit que $-(-2)=2$ est un nombre positif.

Définition 2 : On appelle soustraction de $a$ par $b$ l'opération qui additionne le nombre $a$ et l'opposé du nombre $b$.

$a-b = a+(-b)$

Application : Regrouper des termes afin de réduire une expression.

$$ \begin{aligned} 5+3x-6-5x &= 5+3x+(-6)+(-5x) \\ &= 3x+(-5x)+5+(-6) \\ &= -2x+(-1) \\ &= \color{#b91c1c}{-2x-1} \end{aligned} $$

II - La multiplication

Propriété 1 : La multiplication est prioritaire sur l'addition (et la soustraction).

La multiplication est distributive sur l'addition (et la soustraction).
$k \times (a+b) = k \times a + k \times b = ka+kb$
$(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

Application : Développer et réduire une expression.

$$ \begin{aligned} 3x+5-2(x+1) &= 3x+5+(-2) \times (x+1) \\ &= 3x+5+(-2) \times x + (-2) \times 1 \\ &= 3x+5+(-2x)+(-2) \\ &= \color{#b91c1c}{x+3} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} x-(2x+1) &= x+(-1) \times (2x+1) \\ &= x+(-1) \times 2x + (-1) \times 1 \\ &= x+(-2x)+(-1) \\ &= -1x+(-1) \\ &= \color{#b91c1c}{-x-1} \end{aligned} $$

III - La division

Définition 3 : On appelle inverse du nombre $a \neq 0$ le nombre noté $\dfrac{1}{a}$ tel que : $a \times \dfrac{1}{a} = 1$.

Remarque : L'inverse du nombre $\dfrac{a}{b}$ ($a \neq 0$ et $b \neq 0$) est le nombre $\dfrac{b}{a}$. En effet, $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = \dfrac{a \times b}{b \times a} = 1$.

Propriété 2 : Pour tout nombre $a$, $a \times 0 = 0 \times a = 0$.

Conséquence : Le nombre $0$ n'a pas d'inverse.

Démonstration : Démontrer que $0$ n'a pas d'inverse.

Raisonnement par l'absurde: Si $\dfrac{1}{0}$ existe alors, d'après la définition 3, $0 \times \dfrac{1}{0} = 1$.

Or, d'après la propriété 2, pour tout nombre $a$, $0 \times a = 0$ donc, en particulier, si $a = \dfrac{1}{0}$ on obtient $0 \times \dfrac{1}{0} = 0$.

Donc on obtient que $0=1$. Ce résultat est absurde donc l'hypothèse de départ est fausse.

Conclusion : $\dfrac{1}{0}$ n'existe pas.

Définition 4 : On appelle division de $a$ par $b$ ($b \neq 0$), l'opération qui multiplie le nombre $a$ et l'inverse du nombre non nul $b$.

$a \div b = a \times \dfrac{1}{b}$

Conséquence : Le nombre $0$ n'a pas d'inverse donc on ne peut pas diviser par $0$.

IV - Les fractions

Propriété 3 :

Pour tout nombre $a \neq 0$, $-\dfrac{1}{a} = \dfrac{-1}{a} = \dfrac{1}{-a}$
Pour tous nombres $b \neq 0$, $c \neq 0$, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times c}{b \times c}$
Pour tous nombres $b \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d}{b \times d} + \dfrac{b \times c}{b \times d} = \dfrac{a \times d + b \times c}{b \times d}$
Pour tous nombres $b \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$. En particulier, $a \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a}{1} \times \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times b}{c}$
Pour tous nombres $b \neq 0$, $c \neq 0$, $d \neq 0$, $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} / \dfrac{c}{d} = \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$

V - Les puissances

Définition 5 : Pour tout nombre $a$ différent de $0$ et tout entier naturel $n$, on définit le nombre $\boldsymbol{a^{n}}$ :

Si $n=0$ alors $a^{0}=1$

Si $n=1$ alors $a^{1}=a$

Si $n>1$ alors $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ facteurs $a$)

Convention : L'exposant est toujours prioritaire sur les autres opérateurs.

Définition 6 : Pour tout nombre $a$ différent de $0$ et tout entier relatif $n$, on définit le nombre $\boldsymbol{a^{-n}}$ :

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$

C'est-à-dire que $a^{-n}$ est l'inverse de $a^{n}$.

Propriété 4 : Pour tous nombres $a$ et $b$ différents de $0$, pour tous entiers relatifs $m$ et $n$ :

$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$
$\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$
$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$