ÉVALUATION DE MATHÉMATIQUES

Résolution d'inéquations

Classe 2nde

Durée 45 minutes

Calculatrice interdite

Exercice 1 : Inéquations produits et polynômes

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes. On justifiera soigneusement les étapes (factorisation, développement ou tableau de signes si nécessaire).

$(3x-1)(2x+5) - (3x-1)(x-1) \ge 0$
$4x^2 - 25 < (2x+5)^2$
$x - 1 > 1 - x^2$

1. On remarque le facteur commun $(3x-1)$, on factorise l'expression :

$(3x-1)\left[(2x+5) - (x-1)\right] \ge 0$

$(3x-1)(2x+5 - x + 1) \ge 0$

$(3x-1)(x+6) \ge 0$

Les racines des facteurs sont $x = \dfrac{1}{3}$ et $x = -6$. On dresse le tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$-6$		$\dfrac{1}{3}$		$+\infty$
($a=3>0$) $3x-1$		$-$	$\|$	$-$	$0$	$+$
($a=1>0$) $x+6$		$-$	$0$	$+$	$\|$	$+$
Produit		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

L'inéquation demande que le produit soit positif ou nul, donc :

L'ensemble des solutions est $S = \left]-\infty ; -6\right] \cup \left[\dfrac{1}{3} ; +\infty\right[$.

2. On reconnaît une identité remarquable à gauche $a^2 - b^2$ et on regroupe tout dans le même membre :

$(2x-5)(2x+5) - (2x+5)^2 < 0$

On factorise par $(2x+5)$ :

$(2x+5)\left[(2x-5) - (2x+5)\right] < 0$

$(2x+5)(2x - 5 - 2x - 5) < 0$

$-10(2x+5) < 0$

On divise les deux membres par $-10$, qui est un nombre strictement négatif. Il faut donc inverser le sens de l'inégalité :

$2x+5 > 0$

$2x > -5$

$x > -\dfrac{5}{2}$

L'ensemble des solutions est $S = \left]-\dfrac{5}{2} ; +\infty\right[$.

3. On regroupe tout dans le membre de gauche :

$x^2 - 1 + x - 1 > 0$

On factorise l'identité remarquable $x^2-1$ :

$(x-1)(x+1) + (x-1) > 0$

On factorise par $(x-1)$ :

$(x-1)\left[ (x+1) + 1 \right] > 0$

$(x-1)(x+2) > 0$

Les racines des facteurs sont $x = 1$ et $x = -2$. On dresse le tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$+\infty$
($a=1>0$) $x-1$		$-$	$\|$	$-$	$0$	$+$
($a=1>0$) $x+2$		$-$	$0$	$+$	$\|$	$+$
Produit		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

L'inéquation demande que le produit soit strictement positif, donc :

L'ensemble des solutions est $S = \left]-\infty ; -2\right[ \cup \left]1 ; +\infty\right[$.

Exercice 2 : Inéquations quotients

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes en déterminant au préalable les éventuelles valeurs interdites :

$\dfrac{-2x+3}{4x-1} \le 0$
$\dfrac{x^2+x-20}{x-4} < 1$
$\dfrac{x+1}{-3x+2} \ge \dfrac{-x-2}{4-6x}$

1. L'expression existe si le dénominateur est non nul, c'est-à-dire $4x-1 \neq 0 \iff x \neq \dfrac{1}{4}$. La valeur interdite est $\dfrac{1}{4}$.
La racine du numérateur est $-2x+3 = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$.

On dresse le tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$\dfrac{1}{4}$		$\dfrac{3}{2}$		$+\infty$
($a=-2<0$) $-2x+3$		$+$	$\|$	$+$	$0$	$-$
($a=4>0$) $4x-1$		$-$	$0$	$+$	$\|$	$+$
Quotient		$-$	$\|\|$	$+$	$0$	$-$

L'inéquation demande que le quotient soit négatif ou nul, donc :

L'ensemble des solutions est $S = \left]-\infty ; \dfrac{1}{4}\right[ \cup \left[\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[$.

2. La valeur interdite est $x = 4$. Pour $x \neq 4$, on regroupe tout à gauche pour comparer à 0 :

$\dfrac{x^2+x-20}{x-4} - \dfrac{x-4}{x-4} < 0$

$\dfrac{x^2+x-20 - (x-4)}{x-4} < 0$

$\dfrac{x^2+x-20 - x + 4}{x-4} < 0$

$\dfrac{x^2-16}{x-4} < 0$

On factorise le numérateur grâce à une identité remarquable :

$\dfrac{(x-4)(x+4)}{x-4} < 0$

Comme on a posé $x \neq 4$, le quotient $\dfrac{x-4}{x-4}$ vaut 1, on peut donc simplifier l'expression par $(x-4)$ :

$x+4 < 0$

$x < -4$

L'intervalle obtenu ne contient pas la valeur interdite $4$. donc :

L'ensemble des solutions est $S = \left]-\infty ; -4\right[$.

3. On remarque que le deuxième dénominateur peut se factoriser : $4-6x = 2(2-3x) = 2(-3x+2)$.

L'expression existe si les dénominateurs sont non nuls, c'est-à-dire $-3x+2 \neq 0$ donc $x \neq \dfrac{2}{3}$. La valeur interdite est $\dfrac{2}{3}$.

Pour $x \neq \dfrac{2}{3}$, on regroupe tout à gauche :

$\dfrac{x+1}{-3x+2} - \dfrac{-x-2}{2(-3x+2)} \ge 0$

On met au même dénominateur :

$\dfrac{2(x+1)}{2(-3x+2)} - \dfrac{-x-2}{2(-3x+2)} \ge 0$

$\dfrac{2x+2 - (-x-2)}{2(-3x+2)} \ge 0$

$\dfrac{2x+2+x+2}{2(-3x+2)} \ge 0$

$\dfrac{3x+4}{2(-3x+2)} \ge 0$

La racine du numérateur est $3x+4 = 0$, donc $x = -\dfrac{4}{3}$. On dresse le tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{4}{3}$		$\dfrac{2}{3}$		$+\infty$
($a=3>0$) $3x+4$		$-$	$0$	$+$	$\|$	$+$
($a=-3<0$) $-3x+2$		$+$	$\|$	$+$	$0$	$-$
Quotient		$-$	$0$	$+$	$\|\|$	$-$

L'inéquation demande un résultat positif ou nul, donc :

L'ensemble des solutions est $S = \left[-\dfrac{4}{3} ; \dfrac{2}{3}\right[$.

Exercice 1 : Inéquations produits et polynômes

Exercice 2 : Inéquations quotients

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