D.S de MATHÉMATIQUES

Niveau Seconde - Équations & Inéquations

Date : 12/11

Durée : 45 minutes

Calculatrice interdite

Données : $\sqrt{2} \approx 1,414$ ; $\sqrt{3} \approx 1,732$ ; $\sqrt{5} \approx 2,236$

Exercice 1 (10 points)

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations ci-dessous :

1. $-5+3x=7x+1$

2. $\displaystyle \dfrac{x}{4}-\dfrac{7x}{2}=\dfrac{8x}{32}-2$

3. $\displaystyle -\dfrac{2}{5}\left(-4x-5\right)=\dfrac{x}{2}+2$

4. $1+x\sqrt{5}=2x-\sqrt{2}$

1. Résolution de $-5+3x=7x+1$ :

$-5+3x = 7x+1$

$3x - 7x = 1 + 5$

$-4x = 6$

$\dfrac{1}{-4} \times \left(-4x\right) = 6 \times \dfrac{1}{-4}$

$x = -\dfrac{6}{4}$

$x = -\dfrac{3}{2}$

donc $S = \left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$

2. Résolution de $\dfrac{x}{4}-\dfrac{7x}{2}=\dfrac{8x}{32}-2$ :

$\dfrac{x}{4}-\dfrac{14x}{4} = \dfrac{x}{4}-2$

$-\dfrac{13x}{4} = \dfrac{x}{4} - 2$

On multiplie par $4$ les deux membres :

$4 \times \left(-\dfrac{13x}{4}\right) = 4 \times \left(\dfrac{x}{4} - 2\right)$

$-13x = x - 8$

$-14x = -8$

$\dfrac{1}{-14} \times \left(-14x\right) = -8 \times \dfrac{1}{-14}$

$x = \dfrac{4}{7}$

donc $S = \left\{\dfrac{4}{7}\right\}$

3. Résolution de $-\dfrac{2}{5}\left(-4x-5\right)=\dfrac{x}{2}+2$ :

$\dfrac{8x}{5} + \dfrac{10}{5} = \dfrac{x}{2} + 2$

$\dfrac{8x}{5} + 2 = \dfrac{x}{2} + 2$

$\dfrac{8x}{5} = \dfrac{x}{2}$

On multiplie par $10$ les deux membres :

$10 \times \dfrac{8x}{5} = 10 \times \dfrac{x}{2}$

$16x = 5x$

$11x = 0$

$\dfrac{1}{11} \times \left(11x\right) = 0 \times \dfrac{1}{11}$

$x = 0$

donc $S = \{0\}$

4. Résolution de $1+x\sqrt{5}=2x-\sqrt{2}$ :

$x\sqrt{5} - 2x = -1 - \sqrt{2}$

$x\left(\sqrt{5} - 2\right) = -\left(1 + \sqrt{2}\right)$

$\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} \times x\left(\sqrt{5} - 2\right) = -\left(1 + \sqrt{2}\right) \times \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2}$

$x = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{5}}$

donc $S = \left\{\dfrac{1 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{5}}\right\}$

Exercice 2 (10 points)

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations ci-dessous :

1. $-3x-1 \ge 3x+1$

2. $\displaystyle \dfrac{7}{3}x+\dfrac{9}{2}>\dfrac{14x+25}{6}$

3. $\displaystyle 4x-2-\left(5x+1\right) \le 2x-2\left(1-\dfrac{x}{3}\right)$

4. $\sqrt{2}+x\sqrt{3} < x\sqrt{5}-\sqrt{2}$

1. Résolution de $-3x-1 \ge 3x+1$ :

$-6x \ge 2$

Comme on multiplie par $\dfrac{1}{-6}$ (nombre négatif), on change le sens de l'inégalité :

$\dfrac{1}{-6} \times \left(-6x\right) \le 2 \times \dfrac{1}{-6}$

$x \le -\dfrac{1}{3}$

donc $S = \left]-\infty ; -\dfrac{1}{3}\right]$

2. Résolution de $\dfrac{7}{3}x+\dfrac{9}{2}>\dfrac{14x+25}{6}$ : On multiplie par $6$ (nombre positif) :

$6 \times \left(\dfrac{7}{3}x+\dfrac{9}{2}\right) > 6 \times \left(\dfrac{14x+25}{6}\right)$

$14x + 27 > 14x + 25$

$27 > 25$

L'inégalité obtenue est toujours vraie, donc $S = \mathbb{R}$

3. Résolution de $4x-2-\left(5x+1\right) \le 2x-2\left(1-\dfrac{x}{3}\right)$ :

$-x - 3 \le \dfrac{8x}{3} - 2$

$-1 \le \dfrac{11x}{3}$

On multiplie par $3$ (nombre positif) :

$3 \times \left(-1\right) \le 3 \times \dfrac{11x}{3}$

$-3 \le 11x$

$\dfrac{1}{11} \times \left(-3\right) \le \dfrac{1}{11} \times \left(11x\right)$

$x \ge -\dfrac{3}{11}$

donc $S = \left[-\dfrac{3}{11} ; +\infty\right[$

4. Résolution de $\sqrt{2}+x\sqrt{3} < x\sqrt{5}-\sqrt{2}$ :

$2\sqrt{2} < x\sqrt{5} - x\sqrt{3}$

$2\sqrt{2} < x\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)$

On multiplie par l'inverse de $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ (nombre positif car $\sqrt{5} > \sqrt{3}$) :

$\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times 2\sqrt{2} < \dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times x\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)$

$x > \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

donc $S = \left]\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} ; +\infty\right[$

Exercice 1 (10 points)

Exercice 2 (10 points)

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