a) Résolution de $(2x+1)(x-3)-(3x+2)(2x+1)=0$
On factorise par le facteur commun $(2x+1)$ :
$(2x+1) \left[ (x-3)-(3x+2) \right] = 0$
$(2x+1)(x-3-3x-2) = 0$
$(2x+1)(-2x-5) = 0$
C'est une équation produit nul. Un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul :
$2x+1=0$ équivaut à $2x=-1$ donc $x=-\dfrac{1}{2}$
ou
$-2x-5=0$ équivaut à $-2x=5$ donc $x=-\dfrac{5}{2}$
L'ensemble des solutions est $S = \left\{ -\dfrac{5}{2} ; -\dfrac{1}{2} \right\}$.
b) Résolution de $\dfrac{-x-1}{2x+3}=0$
Valeur interdite : $2x+3=0$ équivaut à $x=-\dfrac{3}{2}$.
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul :
$-x-1=0$ donc $x=-1$.
On vérifie que $-1 \neq -\dfrac{3}{2}$.
L'ensemble des solutions est $S = \{ -1 \}$.
c) Résolution de $x^2 < 16$
$x^2 - 16 < 0$ équivaut à $(x-4)(x+4) < 0$.
| $x$ | $-\infty$ | | $-4$ | | $4$ | | $+\infty$ |
| $x + 4$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $+$ | |
| $x - 4$ | | $-$ | | | $-$ | $0$ | $+$ | |
| Produit | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
L'ensemble des solutions est $S = ]-4;4[$.
d) Résolution de $\dfrac{x-1}{x+1} \le \dfrac{x-3}{x-2}$
Valeurs interdites : $-1$ et $2$.
$\dfrac{x-1}{x+1} - \dfrac{x-3}{x-2} \le 0$ équivaut à $\dfrac{(x-1)(x-2) - (x-3)(x+1)}{(x+1)(x-2)} \le 0$
$\dfrac{x^2-3x+2 - (x^2-2x-3)}{(x+1)(x-2)} \le 0$ donc $\dfrac{-x+5}{(x+1)(x-2)} \le 0$.
| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $2$ | | $5$ | | $+\infty$ |
| $-x + 5$ | | $+$ | | | $+$ | | | $+$ | $0$ | $-$ | |
| $x + 1$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $+$ | | | $+$ | |
| $x - 2$ | | $-$ | | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $+$ | |
| Quotient | | $+$ | || | $-$ | || | $+$ | $0$ | $-$ | |
L'ensemble des solutions est $S = ]-1;2[ \cup [5;+\infty[$.
e) Résolution de $x+2 = 4-x^2$
$(x+2) - (2-x)(2+x) = 0$ équivaut à $(x+2) \left[ 1 - (2-x) \right] = 0$
$(x+2)(-1+x) = 0$.
L'ensemble des solutions est $S = \{ -2 ; 1 \}$.
f) Résolution de $\dfrac{2x-1}{x-4} \ge \dfrac{x-4}{2x-1}$
Valeurs interdites : $4$ et $\dfrac{1}{2}$.
$\dfrac{(2x-1)^2 - (x-4)^2}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$ équivaut à $\dfrac{(2x-1-x+4)(2x-1+x-4)}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$
$\dfrac{(x+3)(3x-5)}{(x-4)(2x-1)} \ge 0$.
| $x$ | $-\infty$ | | $-3$ | | $1/2$ | | $5/3$ | | $4$ | | $+\infty$ |
| $x+3$ | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $+$ | | | $+$ | | | $+$ | |
| $3x-5$ | | $-$ | | | $-$ | | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $+$ | |
| $x-4$ | | $-$ | | | $-$ | | | $-$ | | | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $2x-1$ | | $-$ | | | $-$ | $0$ | $+$ | | | $+$ | | | $+$ | |
| Quotient | | $+$ | $0$ | $-$ | || | $+$ | $0$ | $-$ | || | $+$ | |
L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty;-3] \cup \left] \dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{3} \right] \cup ]4;+\infty[$.
