QCM : Le Produit Scalaire

1. Quelle est la définition du produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ en fonction des normes et de l'angle $\theta$ ?

$||\overrightarrow{u}|| + ||\overrightarrow{v}|| + \cos(\theta)$ $||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\theta)$ $||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \sin(\theta)$ $(||\overrightarrow{u}|| + ||\overrightarrow{v}||) \times \cos(\theta)$

2. Si deux vecteurs non nuls sont orthogonaux, que vaut leur produit scalaire ?

$0$ $1$ $-1$ Indéfini

3. Comment appelle-t-on le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}$ ?

Le carré scalaire La norme Le produit vectoriel La valeur absolue

4. Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$, alors $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ vaut :

$xx' - yy'$ $xx' + yy'$ $xy' + yx'$ $\sqrt{xx' + yy'}$

5. Laquelle de ces propriétés est vraie pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ?

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = - (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u})$ $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \implies \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$ $(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w})$

6. Calculez $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ avec $\overrightarrow{u}(2 ; -3)$ et $\overrightarrow{v}(4 ; 1)$ dans un repère orthonormé.

$11$ $5$ $-1$ $8$

7. Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ est égal à :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ $AB \times AC$ $0$

8. Que vaut $||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2$ ?

$||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2 + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ $||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2$ $||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2 - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$

9. Si $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$, que peut-on dire du triangle $ABC$ ?

Il est rectangle en $A$ Il est équilatéral Il est isocèle en $A$ Il est rectangle en $B$

10. Calculez $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ si $||\overrightarrow{u}||=3$, $||\overrightarrow{v}||=4$ et l'angle entre eux est $60^\circ$.

$6$ $12$ $6\sqrt{3}$ $0$

11. Si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 10$, que vaut $(2\overrightarrow{u}) \cdot (3\overrightarrow{v})$ ?

$60$ $15$ $50$ $100$

12. Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ est-il orthogonal à tout vecteur $\overrightarrow{u}$ ?

Oui Non Seulement si $\overrightarrow{u}$ est nul Seulement si le repère est orthonormé

13. Quelle est la formule de polarisation du produit scalaire ?

$\dfrac{1}{2} (||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2)$ $\dfrac{1}{2} (||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2)$ $||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2$ $\sqrt{||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2}$

14. Si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} < 0$, alors l'angle $\theta$ est :

Obtus (entre $90^\circ$ et $180^\circ$) Aigu (entre $0^\circ$ et $90^\circ$) Droit ($90^\circ$) Nul ($0^\circ$)

15. Soient $\overrightarrow{u}(2 ; 5)$ et $\overrightarrow{v}(x ; -2)$. Trouvez $x$ pour que $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$.

$5$ $-5$ $10$ $0$

16. Simplifiez $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$.

$||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 $0$ $\overrightarrow{u}^2 + \overrightarrow{v}^2$ $2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$

17. Si $||\overrightarrow{u}|| = 5$, que vaut $\overrightarrow{u}^2$ ?

$25$ $5$ $10$ $\sqrt{5}$

18. Le résultat d'un produit scalaire est toujours :

Un nombre réel Un vecteur Un angle Un point

19. Si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||$, alors les vecteurs sont :

Colinéaires et de même sens Orthogonaux Colinéaires et de sens opposés Égaux

20. Soient $\overrightarrow{u}(1 ; 1)$ et $\overrightarrow{v}(1 ; -1)$. Quel est l'angle entre eux ?

$90^\circ$ $0^\circ$ $45^\circ$ $180^\circ$