D.S de MATHÉMATIQUES
Niveau Première - Applications de la dérivation
Exercice 1 : Lecture graphique (2 pts)
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$. La droite $(AB)$ est la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point $A(0;1)$.
1) Déterminer, par lecture graphique, les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$.
2) En déduire l'équation réduite de la droite $(AB)$.
1) Par lecture graphique, on constate que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A$ de coordonnées $\left( 0 ; 1 \right)$, donc ${\color{#D93025} f(0) = 1}$.
Le nombre dérivé $f'(0)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $(AB)$ au point d'abscisse $0$. La droite passe par les points $A\left( 0 ; 1 \right)$ et $B\left( -1 ; -1 \right)$. On a donc :
$m = \dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \dfrac{1 - (-1)}{0 - (-1)} = \dfrac{2}{1} = 2$
On en déduit que ${\color{#D93025} f'(0) = 2}$.
2) L'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ est de la forme :
$y = f'(0)(x - 0) + f(0)$
En remplaçant par les valeurs trouvées à la question précédente, on obtient $y = 2(x - 0) + 1$.
Donc l'équation de la droite $(AB)$ est ${\color{#D93025} y = 2x + 1}$.
Exercice 2 : Étude de fonction rationnelle (10 pts)
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^{2}-x+4}{x-1}$.
1) Déterminer le domaine $\mathcal{D}_{f}$ de la fonction $f$.
2) a) Calculer la dérivée de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$.
b) Étudier le signe de la dérivée sur $\mathcal{D}_{f}$.
c) On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$.
3) a) Résoudre l'équation $f(x)=0$.
b) En déduire le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$.
4) Déterminer les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=-3x+1$.
1) La fonction $f$ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul. On doit avoir $x - 1 \neq 0$, donc $x \neq 1$.
Le domaine de définition de la fonction $f$ est ${\color{#D93025} \mathcal{D}_f = \left] -\infty ; 1 \right[ \cup \left] 1 ; +\infty \right[}$.
2) a) La fonction $f$ est dérivable sur son domaine de définition comme quotient de deux polynômes. On pose $f = \dfrac{u}{v}$ avec :
$u(x) = x^2 - x + 4$ donc $u'(x) = 2x - 1$
$v(x) = x - 1$ donc $v'(x) = 1$
En appliquant la formule $f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{\left( v(x) \right)^2}$, on obtient :
$f'(x) = \dfrac{\left( 2x - 1 \right)\left( x - 1 \right) - \left( x^2 - x + 4 \right) \times 1}{\left( x - 1 \right)^2}$
$f'(x) = \dfrac{2x^2 - 2x - x + 1 - x^2 + x - 4}{\left( x - 1 \right)^2}$
Finalement, on a bien ${\color{#D93025} f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{\left( x - 1 \right)^2}}$.
b) Pour tout réel $x \neq 1$, $\left( x - 1 \right)^2 > 0$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de son numérateur $x^2 - 2x - 3$.
C'est un polynôme du second degré. On remarque que $-1$ est une racine évidente car $(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.
Le produit des racines est $\dfrac{c}{a} = \dfrac{-3}{1} = -3$. La seconde racine $x_2$ vérifie donc $-1 \times x_2 = -3$, on en déduit que $x_2 = 3$.
On obtient le tableau de signes suivant :
c) On calcule les extremums locaux :
$f(-1) = \dfrac{(-1)^2 - (-1) + 4}{-1 - 1} = \dfrac{6}{-2} = -3$
$f(3) = \dfrac{3^2 - 3 + 4}{3 - 1} = \dfrac{10}{2} = 5$
3) a) Pour $x \in \mathcal{D}_f$, résoudre $f(x) = 0$ équivaut à annuler le numérateur, donc $x^2 - x + 4 = 0$.
On calcule le discriminant : $\Delta = \left( -1 \right)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 1 - 16 = -15$.
Comme $\Delta < 0$, l'équation n'admet aucune solution réelle. On en déduit que ${\color{#D93025} \mathcal{S} = \emptyset}$.
b) Comme $\Delta < 0$ et $a = 1 > 0$, le numérateur $x^2 - x + 4$ est strictement positif pour tout réel $x$. Le signe de $f(x)$ dépend donc uniquement du dénominateur $x - 1$.
4) La tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite d'équation $y = -3x + 1$ si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. On cherche donc les abscisses $x \in \mathcal{D}_f$ telles que $f'(x) = -3$ :
$\dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = -3$
$x^2 - 2x - 3 = -3 \left( (x - 1)^2 \right)$
$x^2 - 2x - 3 = -3x^2 + 6x - 3$
$4x^2 - 8x = 0$
On factorise l'expression par $4x$ :
$4x\left( x - 2 \right) = 0$
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On obtient $4x = 0$ ou $x - 2 = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 2$.
Les abscisses cherchées sont donc ${\color{#D93025} x = 0}$ et ${\color{#D93025} x = 2}$.
Exercice 3 : Étude d'une fonction avec radical (6 pts)
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\left(x^{2}-10x\right)\sqrt{x}$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative.
1) Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}_{f}$ de la fonction $f$.
2) Montrer que pour tout $x \in \left]0;+\infty\right[$, la dérivée de $f$ est :
$f'(x)=\dfrac{5x^{2}-30x}{2\sqrt{x}}$
3) a) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathcal{D}_{f}$.
b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$.
1) La fonction racine carrée est définie pour tout réel positif ou nul. Le domaine de définition est donc ${\color{#D93025} \mathcal{D}_f = \left[ 0 ; +\infty \right[}$.
2) La fonction $f$ est de la forme $u \times v$ avec :
$u(x) = x^2 - 10x$ donc $u'(x) = 2x - 10$
$v(x) = \sqrt{x}$ donc $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
En appliquant la formule $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ pour $x > 0$, on obtient :
$f'(x) = \left( 2x - 10 \right)\sqrt{x} + \left( x^2 - 10x \right)\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
On met au même dénominateur $2\sqrt{x}$ :
$f'(x) = \dfrac{\left( 2x - 10 \right) \times \sqrt{x} \times 2\sqrt{x} + x^2 - 10x}{2\sqrt{x}}$
Sachant que $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x$ :
$f'(x) = \dfrac{2x\left( 2x - 10 \right) + x^2 - 10x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x^2 - 20x + x^2 - 10x}{2\sqrt{x}}$
On obtient bien ${\color{#D93025} f'(x) = \dfrac{5x^2 - 30x}{2\sqrt{x}}}$.
3) a) Tableau de signes de la fonction dérivée $f'$ :
b) On calcule les images :
$f(0) = \left( 0^2 - 10(0) \right) \sqrt{0} = 0$
$f(6) = \left( 6^2 - 10(6) \right) \sqrt{6} = \left( 36 - 60 \right) \sqrt{6} = -24\sqrt{6}$
Exercice 4 : Identification de courbes (2 pts)
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
1) Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$.
2) Parmi les trois courbes proposées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée $f'$ ? Justifier.
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3
1) Par lecture graphique sur la courbe de $f$ donnée dans l'énoncé, on observe que la fonction est croissante sur $\left] -\infty ; -1 \right]$, décroissante sur $\left[ -1 ; 1 \right]$, puis de nouveau croissante sur $\left[ 1 ; +\infty \right[$. Elle admet des extremums locaux aux abscisses $x = -1$ et $x = 1$.
2) Dressons les tableaux de signes correspondants à chacune des trois courbes proposées. On appellera $f_1$, $f_2$ et $f_3$ les fonctions associées respectivement aux courbes 1, 2 et 3 :
Conclusion : On sait que le signe de la fonction dérivée $f'$ donne strictement les variations de la fonction $f$.
D'après la question 1, la fonction $f$ est croissante, puis décroissante, puis croissante.
On en déduit que sa dérivée $f'$ doit être positive, puis négative, puis positive.
D'après les tableaux de signes ci-dessus, seule la ${\color{#D93025} \text{Courbe 1}}$ correspond à ces critères de signes.