D.S de MATHÉMATIQUES

$(E_1): x^2 - x - 6 = 0$
$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 25 > 0$
$x_1 = \frac{1-\sqrt{25}}{2} = -2$ et $x_2 = \frac{1+\sqrt{25}}{2} = 3$
$S = \{-2; 3\}$

$(E_2): 2x^2 - 3x + 4 = 0$
$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 9 - 32 = -23 < 0$
$S = \emptyset$

$(E_3): \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2 = 0$
On multiplie par 4 : $x^2 - 2x - 8 = 0$
$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 36 > 0$
$x_1 = \frac{2-\sqrt{36}}{2} = -2$ et $x_2 = \frac{2+\sqrt{36}}{2} = 4$
$S = \{-2; 4\}$

$(E_4): (2x-1)^2 = (x+3)^2$
$(2x-1)^2 - (x+3)^2 = 0$
$((2x-1)-(x+3))((2x-1)+(x+3))=0$
$(x-4)(3x+2)=0$
$S = \{4; -\frac{2}{3}\}$

$(E_5): (2x+1)^2 = 5$
$2x+1 = \sqrt{5}$ ou $2x+1 = -\sqrt{5}$
$x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ ou $x = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
$S=\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\}$

$(E_6): (x+1)(2-x) + (x+4)(x-2)=0$
$-(x+1)(x-2) + (x+4)(x-2)=0$
$(x-2)[-(x+1) + (x+4)]=0$
$(x-2)(-x-1+x+4)=0$
$(x-2)(3)=0$
$S=\{2\}$

$P_1(x) = x^2 + 6x + 5$
$= (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5$
$= (x+3)^2 - 4$

Détail du calcul pour $P_2(x) = -2x^2 + 6x - 1$

1. On factorise par le coefficient de $x^2$ (c'est-à-dire -2) :
   $P_2(x) = -2(x^2 - 3x) - 1$
2. Dans la parenthèse, on cherche le début d'une identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
   Ici $a=x$ et $2ab = 3x$, ce qui donne $b = \frac{3}{2}$. Il nous manque donc le terme $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
   On l'ajoute et on le retire :
   $x^2 - 3x = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4}$
3. On factorise le début de l'expression :
   $P_2(x) = -2 \left[ (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \right] - 1$
4. On développe le facteur -2 :
   $P_2(x) = -2(x-\frac{3}{2})^2 + (-2) \times (-\frac{9}{4}) - 1$
   $P_2(x) = -2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{18}{4} - 1$
5. On simplifie la fraction et on additionne :
   $P_2(x) = -2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - \frac{2}{2}$
6. On obtient la forme canonique finale :
   $P_2(x) = -2(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{2}$