Maths 1° - Evaluation sur le second degré

Exercice 1 : (7 pts)

Résoudre en utilisant la méthode de son choix.

$(E_1): x^2 + 3x - 4 = 0$

$(E_2): -x^2 + 3x - 5 = 0$

$(E_3): \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} = 0$

$(E_1): x^2+3x-4=0$
$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-3-\sqrt{25}}{2} = -4$ et $x_2 = \frac{-3+\sqrt{25}}{2} = 1$
$S = \{-4; 1\}$

$(E_2): -x^2+3x-5=0$
$\Delta = 3^2 - 4 \times (-1) \times (-5) = 9 - 20 = -11 < 0$
$S = \emptyset$

$(E_3): \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} = 0$
On multiplie par 6 : $3x^2+2x-1=0$
$\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 16 > 0$
$x_1 = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\times 3} = -1$ et $x_2 = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\times 3} = \frac{1}{3}$
$S = \{-1; \frac{1}{3}\}$

Exercice 2 : (8 pts)

Résoudre sans utiliser le discriminant $\Delta$.

$(E_4): (x-1)^2 = (x+2)^2$

$(E_5): (3x-2)^2 = 7$

$(E_6): (x-2)(1-x)-(x+3)(x-1)=0$

$(E_4): (x-1)^2 = (x+2)^2$
$(x-1)^2 - (x+2)^2 = 0$
$((x-1)-(x+2))((x-1)+(x+2))=0$
$(-3)(2x+1)=0 \implies 2x+1=0$
$S = \{-\frac{1}{2}\}$

$(E_5): (3x-2)^2 = 7$
$3x-2 = \sqrt{7}$ ou $3x-2 = -\sqrt{7}$
$x = \frac{2+\sqrt{7}}{3}$ ou $x = \frac{2-\sqrt{7}}{3}$
$S=\{\frac{2-\sqrt{7}}{3}; \frac{2+\sqrt{7}}{3}\}$

$(E_6): (x-2)(1-x)-(x+3)(x-1)=0$
$-(x-2)(x-1)-(x+3)(x-1)=0$
$(x-1)[-(x-2)-(x+3)]=0$
$(x-1)(-x+2-x-3)=0$
$(x-1)(-2x-1)=0$
$x=1$ ou $x=-\frac{1}{2}$
$S=\{-\frac{1}{2}; 1\}$

Exercice 3 : (5 pts)

Déterminer la forme canonique par le calcul.

$P_1(x) = x^2 - 4x + 3$

$P_2(x) = -3x^2 - 5x + 1$

$P_1(x) = x^2 - 4x + 3$
$= (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3$
$= (x-2)^2 - 1$

$P_2(x) = -3x^2 - 5x + 1$

On factorise par le coefficient de $x^2$ (c'est-à-dire -3) les termes en $x^2$ et $x$ :
$P_2(x) = -3(x^2 + \frac{5}{3}x) + 1$
Dans la parenthèse, on reconnaît le début d'une identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Ici $a=x$ et $2ab = \frac{5}{3}x$, ce qui donne $b = \frac{5}{6}$. Il nous manque donc le terme $b^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$.
On l'ajoute et on le retire pour ne pas changer l'expression :
$x^2 + \frac{5}{3}x = (x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{25}{36}) - \frac{25}{36}$
On peut maintenant factoriser le début de l'expression et on remplace :
$P_2(x) = -3 \left[ (x+\frac{5}{6})^2 - \frac{25}{36} \right] + 1$
On développe le facteur -3 :
$P_2(x) = -3(x+\frac{5}{6})^2 + (-3) \times (-\frac{25}{36}) + 1$
$P_2(x) = -3(x+\frac{5}{6})^2 + \frac{75}{36} + 1$
On simplifie la fraction et on additionne les constantes :
$P_2(x) = -3(x+\frac{5}{6})^2 + \frac{25}{12} + \frac{12}{12}$
On obtient la forme canonique finale :
$P_2(x) = -3(x+\frac{5}{6})^2 + \frac{37}{12}$